Chủ đề này có 5 trả lời

[Belphegor Varia]

Cho các số dương $a,b,c$

Chứng minh : $\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3\geq \frac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 17-07-2015 - 17:04

[loigiailanhlung]

Cho các số dương $a,b,c$
Chứng minh : $\left ( \frac{a}{2a+b} \right )^3+\left ( \frac{b}{2b+c} \right )^3+\left ( \frac{c}{2c+a} \right )^3\geq \frac{1}{9}$

Ta có VT $\geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2b})^3 \geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2\sqrt{ab}})^3 \geq \frac{1}{9}.\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\frac{1}{9}\Rightarrow$đpcm.
Dấu "="$\Leftrightarrow$a=b=c.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi loigiailanhlung: 17-07-2015 - 22:43
$\LaTeX$

[Nguyen Huy Hoang]

Ta có VT $\geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2b})^3 \color{red}{\geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2\sqrt{ab}})^3 \geq \frac{1}{9}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\frac{1}{9}}\Rightarrow$đpcm.
Dấu "="$\Leftrightarrow$a=b=c.

Bạn giải thích rõ hơn được không? 
$2\sqrt{ab}$ đó lấy đâu ra?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Huy Hoang: 17-07-2015 - 21:06

[tunglamlqddb]

Ta có VT $\geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2b})^3 \geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2\sqrt{ab}})^3 \geq \frac{1}{9}.\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}=\frac{1}{9}\Rightarrow$đpcm.
Dấu "="$\Leftrightarrow$a=b=c.

VT $\geq \frac{1}{9}(\sum\frac{a}{a+2b})^3 , bđt này sao có đc bạn nhỉ?

[Belphegor Varia]

$\bullet \texttt{Solution}$

 

Đặt $x=\frac{b}{a},y=\frac{c}{b},z=\frac{a}{c}$ thì $xyz=1$ và bất đẳng thức ở đề bài trở thành :

                    $\frac{1}{(x+2)^3}+\frac{1}{(y+2)^3}+\frac{1}{(z+2)^3}\geq \frac{1}{9}$

 

$\cdot$ Theo nguyên lý $\texttt{Dirichlet}$ thì $2$ trong $3$ số $(x-1),(y-1),(z-1)$ cùng dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng $(x-1)(y-1)\geq 0\Rightarrow x+y\leq xy+1$

 

$\cdot$ Áp dụng $\texttt{AM-GM}$ : 

$\frac{1}{(x+2)^3}+\frac{1}{(y+2)^3}\geq 2\sqrt{\frac{1}{(x+2)^3(y+2)^3}}=2(\frac{1}{(x+2)(y+2)})^{\frac{3}{2}}=2(\frac{1}{xy+2(x+y)+4})^{\frac{3}{2}}\geq 2(\frac{1}{3xy+6})^{\frac{3}{2}}=2\left ( \frac{1}{\frac{3}{z}+6} \right ) ^{\frac{3}{2}}$

 

Cần chứng minh :$2\left ( \frac{1}{\frac{3}{z}+6} \right )^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{(z+2)^3}\geq \frac{1}{9}$ 

$\cdot$ Xét hàm $f(z)=2\left ( \frac{1}{\frac{3}{z}+6} \right )^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{(z+2)^3}\geq \frac{1}{9}$

          $f'(z)=\frac{9}{(\frac{1}{\frac{3}{z}+6})^{\frac{5}{2}}.z^2}-\frac{3}{(z+2)^4}$

Ta có $f'(z)=0\Leftrightarrow z=1$

Lập bảng biến thiên ta được : $f(z)\geq f(1)=\frac{1}{9}\Rightarrow DPCM$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

Spoiler

$\blacklozenge$ Bài toán tổng quát (Huỳnh Tấn Châu & Nguyễn Đình Thi)

            $\sum (\frac{a}{ka+b})^3\geq \frac{3}{(k+1)^3}$

Với $k=1$ ta có bài toán $\textbf{VN TST 2005}$ : $\sum (\frac{a}{a+b})^3\geq \frac{3}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 24-08-2015 - 18:42

[Gachdptrai12]

bài này nguyên lí direclet và xét hàm )) lúc đầu tưởng holder nhưng ngược dấu mất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gachdptrai12: 21-12-2015 - 06:19