Cho các số thực dương a,b,c thỏa $$a+b+c=3$$
Tìm Giá trị nhỏ nhất của
$$P=(3+2a^{2})(3+2b^{2})(3+2c^{2})$$
#1
Đã gửi 27-04-2016 - 10:36
ineX
-
- Thành viên
-
- 353 Bài viết
Sĩ quan
"Tôi sinh ra là để thay đổi thế giới chứ không phải để thế giới thay đổi tôi" - Juliel
#2
Đã gửi 27-04-2016 - 14:44
ngothithuynhan100620
-
- Thành viên
-
- 107 Bài viết
Trung sĩ
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc$
Ta có: $p=3$; $q^2\ge 3pr\iff q^2\ge 9r(1)$
Và $27r\le p^3\iff r\le 1$
Khi đó: $P=27+18(a^2+b^2+c^2)+12[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]+8(abc)^2$
$\iff P=27+18(p^2-2q)+12(q^2-6r)+8r^2=12q^2-36q+8r^2-72r+189$
$\iff P=6(q-3)^2+8r^2-72r+135+6q^2$
Áp dụng (1) $=> P\ge 6(q-3)^2+8r^2-72r+135+54r=6(q-3)^2+8r^2-16r+8-2r+127$
Áp dụng (2) $=> P\ge 6(q-3)^2+8(r-1)^2-2+127\ge 125$
Dấu $'='$ xảy ra $\iff a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngothithuynhan100620: 27-04-2016 - 14:54
Lấy bất biến ứng vạn biến
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bđt
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
