3 replies to this topic

[tritanngo99]

Cho $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3\le a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\le 9$

[Hoang Duong]

$\sum ab\le\frac{(\sum a)^3}{3}=3$

Và:

$\prod(a-2)\le0 \Leftrightarrow \sum 2ab\ge abc+4\ge 4 \Rightarrow\sum ab\ge2$

Khai triển biểu thức:

$P=\sum a^3 -3\prod(a-1)=(\sum a)^3-3\sum a\sum ab+3abc-3(abc-\sum ab+\sum a-1)=21-6\sum ab$

Theo 2 đánh giá trên ta có ngay đpcm

[tritanngo99]

 

$\sum ab\le\frac{(\sum a)^3}{3}=3$

Và:

$\prod(a-2)\le0 \Leftrightarrow \sum 2ab\ge abc+4\ge 4 \Rightarrow\sum ab\ge2$

Khai triển biểu thức:

$P=\sum a^3 -3\prod(a-1)=(\sum a)^3-3\sum a\sum ab+3abc-3(abc-\sum ab+\sum a-1)=21-6\sum ab$

Theo 2 đánh giá trên ta có ngay đpcm

 

Một lời giải khác cũng gần tương tự như sau:

Bổ đề: Với $a,b,c$ là các số thực tùy ý thỏa mãn: $a+b+c=0$ thì $a^3+b^3+c^3=3abc$.

Chứng minh: Ta có: $a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[\sum(a-b)^2]$.

Khi $a+b+c=0\implies a^3+b^3+c^3=3abc(dpcm)$.

Áp dụng bổ đề trên ta có: $3(a-1)(b-1)(c-1)=(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3\text{(do a+b+c=3)}$.

Khi đó: $a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)=3(a^2+b^2+c^2)-3(a+b+c)+3=3(a^2+b^2+c^2)-6$.

Khi đó: BDT cần chứng minh tương đương: $3\le a^2+b^2+c^2\le 5$.

Với $a+b+c=3$ và $a,b,c\in [0;2]$ dễ dàng chứng minh được: $a^2+b^2+c^2\ge 3$.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.

Ta đi CM: $a^2+b^2+c^2\le 5$.

Thật vậy: Ta có: $(2-a)(2-b)(2-c)\ge 0\iff 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\ge 0\iff 2(ab+bc+ca)\ge 4+abc\ge 4$.

Khi đó: $a^2+b^2+c^2=9-2(ab+bc+ca)\le 9-4=5(dpcm)$.

Dấu $=$ xảy ra tại $(a,b,c)=(0;1;2)\text{ và các hoán vị}$.

Vậy BDT được chứng minh hoàn tất.

[nguyenhongsonk612]

Cho $a,b,c\in [0;2]$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $3\le a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\le 9$

Một cách khác nữa khá hay

Giải

Đặt $x=a-1;y=b-1;z=c-1$ $\Rightarrow x+y+z=0$ và $x,y,z \in [-1;1]$

từ $x+y+z=0$ $\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow 3\leqslant 3(x^2+y^2+z^2+1) \leqslant 9$ $\Leftrightarrow1\leqslant x^2+y^2+z^2+1\leqslant 3$

Ta có 

$x^2+y^2+z^2+1 \geqslant 1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=0$ $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cần C/m $x^2+y^2+z^2\leqslant 2$

Vì $x,y,z \in [-1;1]$ nên $|x|,|y|,|z| \in [0;1]$

$\Rightarrow x^2\leqslant |x|; y^2\leqslant |y|;z^2\leqslant |z|$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leqslant |x|+|y|+|z|$

Vì $x+y+z=0$ nên trong ba số $x,y,z$ luôn tồn tại hai số cùng dấu

Không mất tính tổng quát, giả sử $x$, $y$ cùng dấu $\Rightarrow xy\geqslant 0$

$\Rightarrow |x|+|y|+|z|=|x+y|+|z|=2|z|\leq 2$

Dấu "=" xảy ra khi $a=0;b=1;c=2$ và các hoán vị

Edited by nguyenhongsonk612, 01-08-2016 - 19:53.