2$a^{3}+2b^{3}+2c^{3}$$\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ với 0<a,b,c<1
Chứng minh 2$a^{3}+2b^{3}+2c^{3}$$\leq 3+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Bắt đầu bởi Korosensei, 13-09-2016 - 22:55
bất đẳng thức
#1
Đã gửi 13-09-2016 - 22:55
#2
Đã gửi 13-09-2016 - 23:29
VÌ 0<a<1 nên suy ra $a^{2}<1 => 1-a^{2}>0$
Vì b<1 nên suy ra 1-b>0
Nhân theo vế ta có $(1-a^{2})(1-b)>0$
$<=> 1-b-a^{2}+a^{2}b>0$
$<=> 1+a^{2}b>a^{2}+b^{2}$
lại có $a^{2}+b> a^{3}+b^{3}$ (1)
$<=> a^{2}(1-a)+b(1-b^{2})>0$
vì a<1 nên 1-a>0, vì 0<b<1 nên b(1-b)(1+b)>0
suy ra bất đẳng thức (1) luôn đúng.
mà $1+a^{2}>a^{2}+b$ suy ra $1+a^{2}>a^{3}+b^{3}$
chứng minh tương tự ta có
$1+b^{2}c>b^{3}+c^{3}$ và $1+c^{2}a>c^{3}+a^{3}$
cộng theo vế lại ta co đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILoveMath4864: 13-09-2016 - 23:42
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Solved
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm Min $P=\sum \sqrt{ab(b+c+1)}$Bắt đầu bởi duycuonghihi, 03-06-2024 bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh