Bài toán: Cho $a,b,c$ không âm và không có 2 số nào đồng thời bằng 0. CMR: Với mọi $k\geq 1$ ta luôn có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+k.\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\geq 2\sqrt{k}+1$(Phạm Sinh Tân-Sáng tác)
Bất đẳng thức được xem là chặt hơn bất đẳng thức Nesbitt nếu như từ nó ta có thể suy ra được bất đẳng thức Nesbitt (ở một trường hợp nào đó) và nó cũng phải có trường hợp đẳng thức xảy ra khi ba biến bằng nhau (đẳng thức của bất đẳng thức Nesbitt). Bất đẳng thức này của em không chặt hơn bất đẳng thức Nesbitt, chẳng hạn như khi $k = 1$ thì nó trở thành
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant 3 - \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}.\]
Bất đẳng thức này chặt hơn bất đẳng thức Nesbitt nếu như (ở một trường hợp nào đó)
\[3 - \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{a^{3}+b^{3}+c^{3}} \geqslant \frac{3}{2}.\]
tuy nhiên bất đẳng thức này lại không đúng.
Chỗ “ở một trường hợp nào đó” có thể sẽ dễ hiểu hơn thông qua bài toán sau
Tìm hằng số dương $k$ lớn nhất sao cho bất đẳng thức dưới đây luôn đúng
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2} + \frac{k(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)},\]
với mọi số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca>0.$
Rõ ràng là nếu $(a-b)(b-c)(c-a) < 0$ thì bất đẳng thức này không có ý nghĩa vì khi đó $VT \geqslant \frac{3}{2} > VP.$ Tuy nhiên nếu $(a-b)(b-c)(c-a) \geqslant 0$ thì rõ ràng nếu số $k$ kia tồn tại thì bất đẳng thức này chặt hơn bất đẳng thức Nesbitt. Ngoài ra nếu bài này sửa thành tìm hằng số $k$ tốt nhất thì sẽ vui hơn nhưng lại không hay vì phải xét thêm trường hợp.
Những kiểu bất đẳng thức dạng này rất dễ chế, chẳng hạn như ta tìm các bất đẳng thức cơ bản có dạng $A \geqslant B $ rồi ghép lại như sau
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2} + A - B, \quad (1)\]
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + B \geqslant \frac{3}{2} + A,\]
rồi kiểm tra tính đúng sai của nó, nếu sai có thể thêm giả thiết $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác hoặc có thể bất đẳng thức sẽ đúng trong trường hợp ngược lại, lúc này thì bất đẳng thức không chặt hơn bất đẳng thức Nesbitt nữa nhưng đôi khi sẽ thu được những kết quả thú vị, ví dụ như bài toán sau của anh Phạm Kim Hùng
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} + \frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2} \leqslant \frac{5}{2},\]
trong đó $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác.
Nếu như nó đúng thì có thể đặt thêm yêu cầu như tìm hằng số $k$ lớn nhất để bất đẳng thức này đúng
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2} + k(A - B).\]
Ví dụ như ta có bất đẳng thức quen thuộc $\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} - 1 \geqslant 0$ khi đó ta ghép lại với bất đẳng thức Nesbitt như sau
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} + \frac{1}{2}.\]
Và rất tuyệt vời là bất đẳng thức này đúng, tha lam một tí ta sẽ đặt thêm câu hỏi là $k$ lớn nhất là bao nhiêu để bất đẳng thức sau luôn đúng
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3}{2}+k\left [\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} -1\right ].\]
Thật trùng hợp là đáp số $k=1$ và nó cũng chính là bất đẳng thức ban đầu mà ta đã ghép và như vậy ta thu được bài toán sau (của anh Võ Quốc Bá Cẩn)
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geqslant \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2} + \frac{1}{2}, \quad (2)\]
với $a,b,c$ là ba số thực không âm và $ab+bc+ca>0.$
Chú ý là $(2)$ xảy ra đẳng thức khi $a=b=c$ hoặc $a=b,\,c=0$ cùng các hoán vị và từ $(2)$ ta có thể chứng minh được bất đẳng thức Iran 1996.
Cách chế bài kiểu này rất dễ và tạo ra được những bất đẳng thức thú vị nhưng sẽ bị bắt bài bởi phương pháp S.O.S và bổ đề chặn tích, hay nói một cách tích cực hơn thì những bài dạng này là bài tập áp dụng rất tốt cho hai kỹ thuật kia.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 05-10-2016 - 01:14