\[0\leq a\leq b\leq c\]
\[a+ b+ c= abc+ 2\]
CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]
\[0\leq a\leq b\leq c\]
\[a+ b+ c= abc+ 2\]
CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]
\[0\leq a\leq b\leq c\]
\[a+ b+ c= abc+ 2\]
CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]
Lời giải 1:
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử $a^4b^3 > \frac{27}{16}.$ Do đó $\left(ab\right)^{7/2}\ge a^4b^3 \ge \frac{27}{16}.$
Do đó, $ab>1.$ Suy ra $b>1.$
Từ c\ge b, ta có $-(b-1)(a+ab-2)\ge 0.$
Suy ra $a+ab\le 2.$
Ta có $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$
Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$ Điều này mâu thuẩn với giả thiết phản chứng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 19-02-2018 - 10:34
Đời người là một hành trình...
Lời giải 2: (Chứng minh trực tiếp)
Từ $c\ge b$, ta có $(b-1)(a+ab-2) \frac{1}{ab-1}\le 0.$
Suy ra một trong ba số $(b-1)$, $a+ab-2,\frac{1}{ab-1}$ là số không dương.
* Nếu $b\le 1$ thì $a^4b^3 \le b^7 \le 1\le \frac{27}{16}. $
* Nếu $ab< 1$ thì $a^4b^3 \le \left(ab\right)^{7/2}< 1\le \frac{27}{16}. $
* Nếu $a+ab\le 2$ thì $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$
Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$
...
Đời người là một hành trình...
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, Hôm qua, 23:44 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm $Max, Min$ của $A = xy + yz + zx + \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$ biết $3(x^2 + y^2 + z^2) + xy + yz + zx = 12$Bắt đầu bởi kakachjmz, 20-04-2024 hsg, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh