2 replies to this topic

[DOTOANNANG]

\[0\leq a\leq b\leq c\]

\[a+ b+ c= abc+ 2\]

CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]

[An Infinitesimal]

\[0\leq a\leq b\leq c\]

\[a+ b+ c= abc+ 2\]

CM: \[a^{4}b^{3}\leq \frac{27}{16}\]

 

Lời giải 1:

 

Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử $a^4b^3 > \frac{27}{16}.$ Do đó $\left(ab\right)^{7/2}\ge a^4b^3 \ge \frac{27}{16}.$

Do đó, $ab>1.$ Suy ra $b>1.$

Từ c\ge b, ta có $-(b-1)(a+ab-2)\ge 0.$

Suy ra $a+ab\le 2.$

Ta có $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$ Điều này mâu thuẩn với giả thiết phản chứng.

Edited by An Infinitesimal, 19-02-2018 - 10:34.

[An Infinitesimal]

Lời giải 2: (Chứng minh trực tiếp)

 

 

Từ $c\ge b$, ta có $(b-1)(a+ab-2) \frac{1}{ab-1}\le 0.$

Suy ra một trong ba số $(b-1)$, $a+ab-2,\frac{1}{ab-1}$ là số không dương.

 

* Nếu $b\le 1$ thì $a^4b^3 \le b^7 \le 1\le \frac{27}{16}. $

 

* Nếu $ab< 1$ thì $a^4b^3 \le \left(ab\right)^{7/2}< 1\le \frac{27}{16}. $

 

* Nếu $a+ab\le 2$ thì   $$\frac{a^4b^3}{27}=a. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}. \frac{ab}{3}\le \left(\dfrac{a+ab}{4}\right)^4 \le \frac{1}{16}.$$

Suy ra $a^4b^3 \le \frac{27}{16}.$

 

...