Chủ đề này có 271 trả lời

[mduc123]

Bài 107:Cho a,b,c,d là các số tự nhiên sao cho $b^{2}+1=ac,c^{2}+1=bd$. Chứng minh rằng a=3b-c, d=3c-b

Bài 108:Cho p là số nguyên tố, p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. Chứng minh rằng $2^{n}-2\vdots n$ (có thể dùng định lý Fermat bé)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 25-04-2018 - 08:29

[DOTOANNANG]

109. Tìm số nguyên $x$ sao cho: $x^{3}+8=7\,\sqrt{8\,x+1}$

[DOTOANNANG]

110. Với $a\,,\,b\,,\,c\,,\,d \in \mathbb{N}$ thỏa $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$, chứng minh rằng: $a+ b+ c+ d$ là hợp số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 25-04-2018 - 15:52

[Kylie Nguyen]

Bài 108:Cho p là số nguyên tố, p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$. Chứng minh rằng $2^{n}-2\vdots n$ (có thể dùng định lý Fermat bé)

n là số tự nhiên vì $4^{2}-1$ chia hết cho 3

xét n-1 = $\frac{4^{p}-4}{3}$

do p nguyên tố lớn hơn 3 nên áp dụng định lí Fecma ta có

$4^{p}-4 \vdots p$ mà .$4^{p}-4 \vdots 2 $  (2,p)=1 nên $4^{p}-4 \vdots 2p$

do (2p,3)=1 nên n-1 chia hết cho 2p

suy ra $2^{n-1}-1 \vdots 2^{2p}-1 =>2^{n}-2 \vdots 2^{2p}-1 \vdots n$

[thanhdatqv2003]

Bài 107: Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn $3(x^4+y^4+x^2+y^2+2)=2(x^2-x+1)(y^2-y+1)$   (1)

 

Đặt x^2-x+1=a

       y^2-y+1=b    (a,b>0)

PT (1) trở thành

   $3\left [ (x^2-x+1)(x^2-x+1)+(y^2-y+1)(y^2+y+1) \right ]=2ab \Leftrightarrow 3\left [ a(a+2x)+b(b+2y) \right ]=2ab \Leftrightarrow 3a^2+6ax+3b^2+6by=2ab \Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+2a(a+3x)+2b(b+3y)=0 \Leftrightarrow (a-b)^2+2a(x+1)^2+2b(y+1)^2=0 \Rightarrow VN$

[Korkot]

Thấy bài này năm đó thành phố mình ít người giải được nên post lên

Bài 95: Cho 1000 số nguyên dương a₁,a₂,...,a₁₀₀₀ sao cho $1<\leq a_{k}\leq k$ với mọi k=1,2,..,1000 và a₁+a₂+...+a₁₀₀₀ là số chẵn. Hỏi trong các số+-a₁ +- a₂ +-...+-a₁₀₀₀ có số nào =0 không? Giải thích (PTNK 2000)

Hoặc là đề khó hiểu hoặc là mình gõ hơi khó hiểu

CM = phương pháp quy nạp mệnh đề sau : Đặt S_n=a₁+a₂+...+a_n. Với mọi S_n thì ta luôn chọn đươc số có dạng +-a₁+-a₂+-...+-a_n (m<n+2)

n=1 thì S_n=1 thì m=1 nên a₁=m

Giả sứ mệnh đề đúng với n. Xét n+1.Với 8 TH S_n chẵn/lẻ,n chẵn/lẻ và a_n chẵn/lẻ lập luận như nhau nên chỉ cần xét 1 TH:

S_n lẻ ; n chẵn ; a_n+1 lẻ

=> S_n+1 = S_n + a_n+1 chẵn

Xét số chẵn $M \leq n+2 \Rightarrow M \neq a_n+1$

TH M>a_n+1 :

Số lẻ $M-a_n+1 \leq M-1 \leq n+1$

Kết hợp gt quy nạp ta có +-a₁+-...+-a_n+1= m +a_n+1 =M

TH M < a_n+1 :

Số lẻ $a_n+1-M \leq a_n+1 \leq n+1$

Theo gt quy nạp ta thấy cũng tồn tại số -+a₁-+...-+a_n=-m= M-a_n+1

=> -+a₁-+....-+a_n+1=M 

=> mệnh đề đúng

Thay n, S_n theo đề là suy ra được đpcm thôi

[MarkGot7]

Bài 108: Giải phương trình:

  $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}= 10$

[Lao Hac]

112.Cho a, b, c là số hữu tỉ thỏa mãn $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0$. CMR a = b = c = 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lao Hac: 25-04-2018 - 20:25

[Korkot]

112.Cho a, b, c là số hữu tỉ thỏa mãn $a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}=0$. CMR a = b = c = 0

Quy đồng mẫu số hữu tỉ ta được các số nguyên a' ,b', c'.

=> $a'+ \sqrt[3]{2}b' + \sqrt[3]{4}c'=0$

=> $\sqrt[3]{2}b' + \sqrt[3]{4}c'$ nguyên

Tới đây ta thấy vô lí ngay với b' , c' nguyên khác 0 => a,b,c đều =0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 25-04-2018 - 22:32

[dat102]

110. Với $a\,,\,b\,,\,c\,,\,d \in \mathbb{N}$ thỏa $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$, chứng minh rằng: $a+ b+ c+ d$ là hợp số.

Đề thiếu điều kiện ạ. Thêm điều kiện $a,b,c,d >0$ mới đúng (Thử với $a=c=0$ và $b=d=1$)

Lời giải sau khi thêm điều kiện:

Giả sử $a+b+c+d$ là số nguyên tố, hiển nhiên $a+b+c+d$ lẻ.

Ta có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2 \leftrightarrow (a+b)^2-ab=(c+d)^2-cd \leftrightarrow (a+b-c-d)(a+b+c+d)=ab-cd$

Lại có: $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2 \leftrightarrow (a-b)^2+3ab=(c-d)^2+3cd \leftrightarrow (-a+b+c-d)(a-b+c-d)=3(ab-cd)$

Suy ra: $(-a+b+c-d) \vdots (a+b+c+d)$ hoặc $(a-b+c-d) \vdots (a+b+c+d)$

$2(b+c) \vdots (a+b+c+d)$ hoặc $2(a+c) \vdots (a+b+c+d)$

Mà $(a+b+c+d,2)=1$ và $0<(b+c),(a+c)<a+b+c+d$ nên suy ra điều trên vô lí

Vậy $a+b+c+d$ là hợp số

[PhanThai0301]

Bài 113: CMR $3^{4^{5}}+4^{5^{6}}$ là tích của 2 số nguyên, mỗi số đều lớn hơn $10^{2002}$.

Bài 114: Tìm số nguyên dương x lớn nhất sao cho $23^{x+6}\vdots 2000!$.

Bài 115: Cho p, q, r là các số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

                  $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

               Chứng minh rằng n=1.

P/s: đây là topic số mong các bạn đăng đúng chỗ .

 

[Tea Coffee]

Bài 115: Cho p, q, r là các số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:

                  $p^{n}+q^{n}=r^{2}$.

               Chứng minh rằng n=1.

+) $n$ lẻ

$=>r^{2}=p^{n}+q^{n}\vdots p+q$

$=>p+q=1;r;r^{2}$

Mà $p+q\geq 2=>p+q=r;r^{2}$

- $p+q=r=>p^{n}+q^{n}=p^{2}+2pq+q^{2}$

Với $n\geq 3=>p^{3}+q^{3}\geq 2p^{2}+2q^{2}\geq q^{2}+2pq+p^{2} <=>p=q=2=>r\vdots 2=>r=2=>VP <VT$ loại

$=>n=1$

+) $n$ chẵn

$n=2k(k\epsilon \mathbb{N}^{*})$

$p^{2k}+q^{2k}=r^{2}=>p^{2k}=(r-q^{k})(r+q^{k})=> \left\{\begin{matrix}r-q^{k}=p^{a} \\ r+q^{k}=p^{b} \end{matrix}\right. (a,b\epsilon \mathbb{N}^{*},a+b=2k,b>a)$

$=>p^{a}+p^{b}=2r<=>p^{a}(p^{b-a}+1)=2r=2.r$ loại

Bài 114 sao số lẻ chia hết cho số chẵn được nhỉ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-04-2018 - 23:51

[DOTOANNANG]

110. Với $a\,,\,b\,,\,c\,,\,d \in \mathbb{N}$ thỏa $a^2+ab+b^2=c^2+cd+d^2$, chứng minh rằng: $a+ b+ c+ d$ là hợp số.

 

Trước tiên, chúng ta đều thấy nếu $a+ b\,=\, c+ d$ thì chắc chắn $a+ b+ c+ d$ là hợp số.

 

Do vai trò như nhau của chúng nên giả sử $a+ b> c+ d$ và $c\geqq d$.

 

Khi đó:

 

$(c-d)^2=4\,(c^2+cd+d^2)-3\,(c+d)^2>4\,(a^2+ab+b^2)-3\,(a+b)^2=(a-b)^2$

 

$\Longrightarrow c>d$

 

Tiếp đó:

 

$a+b+c+d=\frac{(c-d+a-b)\,(c-d-a+b)}{3\,(a+b-c-d)}$

 

và:

 

$(c-d+a-b)-3\,(a+b-c-d)$

 

$=\frac{(c-d+a-b)^2+3\,(a+b-c-d)\,(a+b-c+3d)}{2\,(c-d)}>0$

 

$(c-d-a+b)-3\,(a+b-c-d)$

 

$=\frac{(c-d-a+b)^2+3\,(a+b-c-d)\,(a+b-c+3d)}{2\,(c-d)}>0$

 

nên $a+ b+ c+ d$ là hợp số.

[DOTOANNANG]

109. Tìm số nguyên $x$ sao cho: $x^{3}+8=7\,\sqrt{8\,x+1}$

 

Sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân, ta được:

 

$0=x^3+8-7\sqrt{8x+1}\geqq x^3+8-\frac{7}{5}\cdot\frac{25+(8x+1)}{2}=\frac{x-3}{5}\left(5x^2+15x+17\right)$

 

$\Longrightarrow x\leq3\Longrightarrow\dots\Longrightarrow x=3$

[hoangkimca2k2]

Bài 116: Tìm tất cả các số nguyên số $p,q$ thỏa mãn $p+q=(p-q)^{3}$

[hoangkimca2k2]

Bài 117: Tìm tất cả các bộ số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn $p^{3}-q^{5} = (p+q)^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 26-04-2018 - 19:01

[conankun]

Bài 108: Giải phương trình:

  $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}= 10$

Đây là lời giải của mình!

Đặt $\sqrt[3]{(y-1)^2}=\sqrt{z}$

Ta có: $\frac{x+1}{\sqrt{x}}+ \frac{4(y-1)\sqrt[3]{y-1}+4}{\sqrt[3]{(y-1)^{2}}}$

$= \frac{x+1}{\sqrt{x}}+\frac{4(z+1)}{\sqrt{z}}\geq \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{8\sqrt{z}}{\sqrt{z}}=10$

Dấu "=" xảy ra khi: x= 1, y=2

 

p/s: lâu lắm rồi mới giải bài trên TOPIC này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conankun: 26-04-2018 - 19:10

[Lao Hac]

Bài 118. Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $P_{n}=\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}+\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-2$ là số chính phương.

[MoMo123]

Bài 116: Tìm tất cả các số nguyên số $p,q$ thỏa mãn $p+q=(p-q)^{3}$

$ 2q=(p-q)^3-(p-q) $ Vì $(p-q)^3-(p-q) \vdots 6 \Rightarrow 2q \vdots 6 $ $ \Rightarrow q\vdots 3 -> q=3$
Thay vào ta giải được $p=2$ vậy $(p;q)=(2;5)$

Bài 118. Tìm tất cả các giá trị của $n$ để $P_{n}=\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}+\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-2$ là số chính phương

 $P_{n}=\left ( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}+\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-2$$ =( \frac{6+2\sqrt{5}}{2})^n-(\frac{6-2\sqrt{5}}{2})^n-2$$=[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n]^2 $

Đặt $x_{1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2} ; y_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

$-> x_{1}y_{1}=1; x+y=\sqrt{5}$

Ta có $Q_{n}=x^n-y^n =(x+y)(x^{n-1}-y^{n-1}) -xy(x^{n-2}-y^{n-2}) $

$ Q_{1}=1 ; Q_{2}= \sqrt{5}; Q_{3}=4 ....$ Tiếp tục quá trình trên, ta được $Q_{2n+1}$ là số nguyên 

$-> Để P_{n}$ là số chính phương thì n lẻ 

[MoMo123]

Góp cho TOPIC một số bài:

119. Tìm số $p$ nguyên tố để $\frac{p^2-p-2}{2}$ là lập phương của một số tự nhiên.

120. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho :

$f(p)= (2+3)-(2^2+3^2)+(2^3+3^3)-...-(2^{p-1}+3^{p-1})+(2^p+3^p)$

chia hết cho 5

121.Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n thì số 

$A= (3^n+n^3)(3^n.n^3+1)$

hoặc chia hết 49, hoặc không chia hết 7$