Chủ đề này có 271 trả lời

[MarkGot7]

Bài 50: Xét dãy số: $a_{1}= 1; a_{2}= 3; a_{n+2}= 2a_{n-1}- a_{n}+1$ với $n= 2, 3, 4,...$ . Chứng minh: Số $A= 4a_{n}a_{n+2}+1$ là số chính phương với mọi $n\geq 2$ 

[Korkot]

Khuấy động TOPIC nào:

41) Có bao nhiêu số nguyên dương có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ , $\overline{abc}=(10d+e)$sao cho chia hết cho $101$.

42) Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh mọi ước số của $M$ đều là số lẻ.

b) Giả sử $M$ chia hết cho $5$, tìm $a$.Với giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của $5$.

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

45) Cho $S_{n}=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1);(n\epsilon \mathbb{N}^{*})$. CMR: $3.S_{n}.(n+3)+1$ là một SCP.

Cùng với các bài toán tồn đọng sau:

Bài 41: Ta có $\overline{abcde}$ = 100$\overline{abc}$ +10d + e =101$\overline{abc}$ chia hết cho 100 với mọi abc

Vì d=< 9 và e =<9 nên 10d+e <=99 nhưng $\overline{abc}$ >= 100 do  $\overline{abcde}$ là số có 5 chữ số nên a khác 0

Vậy không tồn tại số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Bài 42: a) Ta có M= a^2 + 2a+1+a=(a+1)^2+a 

vì a+1 và a khác tính chẵn lẻ nên (a+1)^2+a là số lẻ nên M là số lẻ=> đpcm

b) Ta có M= a^2 -2a+1+5a= (a-1)^2+5a chia hết cho 5 khi a-1 chia hết cho  (vì 5 là snt)

=> a có dạng 5k+1

Thay a=5k+1 ta có M= 25k^2 + 25k +5 

Khi M là lũy thừa của 5 thì M=5^n

=> 5^(n-1)=5k^2 + 5k +1

=> 1 chia hết cho 5^(n-1) hay n=1=> M =5

Thay M=5 vào giải pt bậc 2 nhận a=1 làm nghiệm

Bài 52:(tương tự bài mình vừa giải): tìm a sao cho a^4 + 4a +1 là lũy thừa của 5

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-04-2018 - 05:54

[Korkot]

Khuấy động TOPIC nào:

41) Có bao nhiêu số nguyên dương có $5$ chữ số $\overline{abcde}$ , $\overline{abc}=(10d+e)$sao cho chia hết cho $101$.

42) Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.

a) Chứng minh mọi ước số của $M$ đều là số lẻ.

b) Giả sử $M$ chia hết cho $5$, tìm $a$.Với giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của $5$.

43) Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=z^{2}$. Chứng minh rằng $xyz$ chia hết cho $60$

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

45) Cho $S_{n}=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1);(n\epsilon \mathbb{N}^{*})$. CMR: $3.S_{n}.(n+3)+1$ là một SCP.

Cùng với các bài toán tồn đọng sau:

Bài 45 Ta có 3S_n = 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 

                             =[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 

                             =n(n+1)(n+2)

=>3S_n(n+3) +1= n(n+1)(n+2)(n+3)+1= (n^2+3n)(n^2+3n+3)+2 = (n^2+3n)^2 + 2(n^2+3n)+1=(n^2+3n+1)^2 là scp 

Bài 44 Từ pt ta thấy x^2 chia hết cho 4 nên x=4a^2 ( vì 4=2^2)

=> a^2=(5103-2y^2)/5 (1)

Ta thấy để a là scp thì 2y^2 chia 5 dư 3 nhưng một scp chia 5 có thể dư 1,4,0

=> y^2 chia 5 dư 4

Kết hợp đk 2y^=< 5103  để a là scp ta thấy y^2 có thể mang các giá trị sau 4,9,49,64,144,169,256,289,484,529,729,784,1024,1089,1369,1444,1764,1849,2209,2304

Thay y^2 ta thấy y^2=729 là TH duy nhất để a^2 là scp. Khi đó a^2=27 hay x^2=2916

=> kết luận

P/S bài 35 x lẻ sao (x^3+1,x^2+1) =1 được? 2 số đó đều chẵn mà !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 18-04-2018 - 22:19

[YoLo]

46. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho nó có 6 ước dương và tổng các ước của nó bằng 1140.

đi vét thôi

có $n$=$x_{1}^{a_{1}}.x_{2}^{a_{2}}.x_{3}^{a_{3}}...x_{m}^{a_{m}}$

với $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{m}$ là các số nguyên tố phân biệt

    $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{m}$ là số nguyên dương

=> số lượng các ước của n là  $(a_{1}+1)(a_{2}+1)...(a_{m}+1)=6$

mà 6 phân tích thành tích các số nguyên dương không nhỏ hơn 2 là $2.3$ và 6

TH1 : n có 2 ước nguyên tố và có số mũ $a_{1}+1=2;a_{2}+1=3 => a_{1}=1; a_{2}=2$

=> n có dạng $xy^{2}$ với x,y nguyên tố phân biệt từ đây chỉ ra 6 ước đó của n rồi tính tổng sau đó giải PT nghiệm nguyên

TH2: n có 1 ước nguyên tố và có số mũ là 5

=> n có dạng $a^{5}$  với $a$ nguyên tố

rồi kết hợp với giả thiết => $a^{5}+a^{4}+a^{3}+a^{2}+a+1=1140$

phân tích nhân tử giải pt các kiểu là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 18-04-2018 - 22:28

[Korkot]

Bài 36: CMR nếu $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}$=k  có giá trị nguyên dương với $a$, $b$ nguyên dương thì nó không thể chia 7 dư 5

Giả sử k=7m +5. Từ gt ta có a^2 + b^2=( ab+1)(7m+5)= 7mab +7m+5+5ab

 => (a+b)^2 = 7mab+7m+7ab+5=> (a+b)^2 chia 7 dư 5

nhưng 1 scp khi chia 7 chỉ có thể dư 0,1,4,2=> vô lí => đpcm

[YoLo]

Giả sử k=7m +5. Từ gt ta có a^2 + b^2=( ab+1)(7m+5)= 7mab +7m+5+5ab

 => (a+b)^2 = 7mab+7m+7ab+5=> (a+b)^2 chia 7 dư 5

nhưng 1 scp khi chia 7 chỉ có thể dư 0,1,4,2=> vô lí => đpcm

Bài 36 đó  là mk chém ra đó bạn , chứ nguyên văn đây nè

Bài 51: Tìm a,b,k nguyên dương sao cho  $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=k$ có giá trị nguyên dương ( bài này ra nghiệm tổng quát nhé )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 18-04-2018 - 22:36

[PhanThai0301]

44) Tìm cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn $5x^{2}+8y^{2}=20412$

   Ta có: $(6x^{2}+9y^{2})-(x^{2}+y^{2})=20412\vdots 3$

         => $(x^{2}+y^{2})\vdots 3$.

         => $\left\{\begin{matrix} x\vdots 3 & & \\ y\vdots 3 & & \end{matrix}\right.$

    Đặt $x=3x_{1};y=3y_{1}(x_{1};y_{1}\epsilon Z)$ thì pt tương đương với $5x_{1}^{2}+8y_{1}^{2}=2268$.

    Lập luận tương tự ta có: $5x_{2}^{2}+8y_{2}^{2}=252(x_{2};y_{2}\epsilon Z)$.

    Lập luận như trên: $5x_{3}^{2}+8y_{3}^{2}=28$.

    Đến đây ta thấy $0\leq x_{3}^{2}\leq \frac{28}{5}$

                          => $0\leq x_{3}^{2}\leq 5$.

    Đến đây ta thì ta xét từng TH rồi xem có thỏa mãn $y^{3}\epsilon Z$ không.

    Sau đó ta dễ dàng tìm được x, y.

[Korkot]

Bài 36 đó  là mk chém ra đó bạn , chứ nguyên văn đây nè

Bài 51: Tìm a,b,k nguyên dương sao cho  $\frac{a^{2}+b^{2}}{ab+1}=k$ có giá trị nguyên dương ( bài này ra nghiệm tổng quát nhé )

Bài này gần giống bài cuối cùng trong IMO 1989 nhưng có thể giải theo cách THCS

Từ biểu thức ta có a² -kab-k+b^2=0

Giả sử pt có nghiệm a₁,b₁ nguyên nhỏ nhất thì theo định lý Vi-et: a₂=kb₁-a₁=(b₁^2 -k)/a₁ (giả sử luôn a₁>=b₁)

Nếu a₂ <0 thì a₂² -ka₂b₁-k+b₁² >= a₂^2+kb₁+b₁-k >0 => vô lý => a₂>=0

Xét a₂ > 0. Vì a₁ nhỏ nhất nên a₂>=a₁ hay b₁²-k >= a₁²>=b₁² ( vô lí vì k nguyên dương)

Vậy a₂=0 nên k=b^2 => k là 1 số chính phương(k>0) và b là nghiệm  nguyên dương của pt để b²=k

Vì 0= kb-a=b³-a nên a=b³ .

Vậy nghiệm nguyên của pt là: k là scp >0, b là số nguyên dương sao cho b^2=k và a=b^3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-04-2018 - 09:51

[Korkot]

         Đặt $n=3^{k}.m$ với (m;3)=1. Ta xét 2 trường hợp sau:

• Nếu $n=3a+1(n\in N^{*})$.

          $1+2^{n}+4^{n}=1+2^{3^{k}(3a+1)}+4^{3^{k}(3a+1)}=1+b^{3a+1}+b^{6a+2}(với b=2^{3^{k}})$.

          => $1+2^{n}+4^{n}=b(b^{6a+3}-1)+b^{2}(b^{3a}-1)+a^{2}+a+1\vdots (a^{2}+a+1)$ mà $1+2^{n}+4^{n}>a^{2}+a+1$.

          => A là hợp số.

•  Nếu $n=3a+2$ thì cm tương tự A cũng là hợp số.

       => đpcm.

  Mình xin được đưa ra 1 số bài về số chính phương để mn luyện tập.

  47) Có tồn tai số nguyên dương k để $2^{k}+3^{k}$ là số chính phương.

  49) Tìm $x,y$ nguyên dương sao cho $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương.

  48) 1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?
        2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
                  $a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

  P/s: bài 48 dành cho chủ topic Tea Coffee hàng đã có chủ các bạn không giải nhé.

Bài 47: 1 số chính phương chia 4 dư 0 hoặc 1; chia 5 dư 0; 1 hoặc -1.
Đặt S=2k+3k
Nếu k=1;k=2 thì rõ ràng S không chính phương.
Nếu k≥3=>2^k chia hết cho 4^k

Nếu k lẻ thì S≡0+(−1)k≡3(mod4)=> S không chính phương.
Nếu k chẵn. Đặt k=2x=>S=4^x+9^x
Nếu x lẻ thì S≡(−1)^x+(−1)^x≡3(mod5) => S không chính phương.
Nếu x chẵn thì S≡(−1)x+(−1)x≡2(mod5)=> S không chính phương.
Do đó, S không chính phương trong mọi TH.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-04-2018 - 07:27

[Korkot]

Bài 53 Cho p là số nguyên tố có dạng 4k+1. Cmr tồn tại số nguyên x sao cho (x²+1) chia hết cho p.

Bài 54 Cho 3 số tự nhiên:

    a=444..44 ( 2n chữ số 4)

    b=222..22(n+1 chữ số 2)

    c=888...88 (n chữ số 8)

Tìm số tự nhiên p sao cho a+b+c=p²-7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-04-2018 - 14:55

[Korkot]

Bài 50: Xét dãy số: $a_{1}= 1; a_{2}= 3; a_{n+2}= 2a_{n-1}- a_{n}+1$ với $n= 2, 3, 4,...$ . Chứng minh: Số $A= 4a_{n}a_{n+2}+1$ là số chính phương với mọi $n\geq 2$ 

Cho mình hỏi a₀= 0 đúng không vì a₃=2a₀-a₁+1 

[MarkGot7]

Cho mình hỏi a₀= 0 đúng không vì a₃=2a₀-a₁+1

Đề chỉ cho từ a1 thôi nha bạn.

[Korkot]

Bài 50: Xét dãy số: $a_{1}= 1; a_{2}= 3; a_{n+2}= 2a_{n-1}- a_{n}+1$ với $n= 2, 3, 4,...$ . Chứng minh: Số $A= 4a_{n}a_{n+2}+1$ là số chính phương với mọi $n\geq\$ 2

 

 

Mình cần bạn MarkGot7 kiểm tra xem đề có lỗi không!

Ở đây ta thấy a₁=1 nên có thể a₀=1 hoặc a₀=0

Nếu a₀=1 thì a₃=2 , a₄=0 và a₅=5 nhưng khi đó 4a₃a₅+1 = 4*2*5+1=41 không phải là scp

Nếu a₀=0 thì a₃=a₄=0, a₅=7, a₆=1 và a₇=-6 => 4a₅a₇ +1=-187 không phải scp 

Hơn nữa bài này thiên về đại số nhiều hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 19-04-2018 - 16:10

[DOTOANNANG]

46. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho nó có 6 ước dương và tổng các ước của nó bằng 1140.

 

Vì $n$ có 6 ước dương nên $n= p^{5}$ hoặc $n= pq^{2}$ với $p\,,\,q$ là các số nguyên tố.

 

Trường hợp 1: $n= p^{5}$. Theo giả thiết, ta có: $1+ p+ p^{2}+ p^{3}+ p^{4}+ p^{5}= 1140$. Lần lượt thử với các giá trị thấy không thỏa nên cho qua.

 

Trường hợp 2: $n= pq^{2}$. Theo giả thiết, ta có: $1+ q+ q^{2}+ p+ pq+ pq^{2}=1140$

 

Vì $1+ q+ q^{2}$ lẻ nên nó là ước lẻ của $1140$. Do đó $1+ q+ q^{2}\leq 285$ dẫn tới $q< 17\, \Rightarrow \, q\in \left \{ 2,3,5,7,11,13 \right \}$. 

 

Vì $1+ q+ q^{2}$ lẻ nên nó là ước lẻ của $1140$ nên $q= 7\,\Rightarrow \,p= 19\,\Rightarrow \,n=31$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 22-04-2018 - 08:35

[DOTOANNANG]

Bài 29: (Vô địch Toán Ba Lan) Chứng minh rằng nếu $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn hệ thức $2x^{2}+x=3y^{2}+y$ thì $x-y, 2x+2y+1$ và $3x+3y+1$ là các số chính phương.

 

Từ $2x^{2}+ x= 3y^{2}+ y$

 

Suy ra: $\left\{\begin{matrix} 2(x^{2}- y^{2})+ x- y= y^{2}\\ 3(x^{2}- y^{2})+ x- y= x^{2} \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x+2y+1)= y^{2}\\ (x-y)(3x+3y+1)= x^{2} \end{matrix}\right.$

 

$\Rightarrow (x-y)^{2}(2x+2y+1)(3x+3y+1)= (xy)^{2}$

 

Suy ra tích $(2x+2y+1)(3x+3y+1)$ là số chính phương

 

Mặt khác đặt $(2x+2y+1)\,,\,(3x+3y+1)\,=\,d$ thì $d\, | \, 3(2x+2y+1)- 2(3x+3y+1)= 1$ nên $d= 1$

 

Do đó: $2x+ 2y+ 1\,,\,3x+ 3y+ 1$ là các số chính phương nên $x-y$ cũng là số chính phương.

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 19-04-2018 - 16:57

[DOTOANNANG]

Bài 34: Chứng minh rằng phương trình $x^{2}+2x+4y^{2}=37$ không có nghiệm nguyên dương.

 

Giả sử phương trình này có nghiệm nguyên. Khi đó:

 

$x^{2}+ 2x+ 4y^{2}- 37= 0$ khi và chỉ khi $\Delta _{x}^{'}= 4y^{2}+ 38$ là số chính phương hay phương trình $z^{2}+ 4yz-38= 0\,,\,(z\in \mathbb{Z})$ có nghiệm nguyên.

 

Do đó $38\,\vdots \,z\Rightarrow z \in \left \{\pm 1,\pm 2,\pm 19,\pm 38 \right \}$

 

Ta có: 

 

$1\pm 4y- 38=0$ (loại)

$4\pm 8y- 38= 0$ (loại)

$19^{2}\pm 38y-38=0$ (loại)

$38^{2}\pm 76y- 38=0$ (loại)

 

Do đó phương trình không thể có nghiệm nguyên, nghiệm nguyên dương càng không.

 

Đã sử dụng trong vài bước của lời giải: Phương trình quen thuộc $ax^{2}+ bx+ c= 0$ có nghiệm nguyên thì chúng phải thỏa $b^{2}- 4ac$ là số chính phương với các số hữu tỉ $a, b, c$.

 

[MarkGot7]

Mình cần bạn MarkGot7 kiểm tra xem đề có lỗi không!

Ở đây ta thấy a₁=1 nên có thể a₀=1 hoặc a₀=0

Nếu a₀=1 thì a₃=2 , a₄=0 và a₅=5 nhưng khi đó 4a₃a₅+1 = 4*2*5+1=41 không phải là scp

Nếu a₀=0 thì a₃=a₄=0, a₅=7, a₆=1 và a₇=-6 => 4a₅a₇ +1=-187 không phải scp 

Hơn nữa bài này thiên về đại số nhiều hơn

Ta chứng minh $a_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ với mọi n thuộc $\mathbb{Z}^{+}$ bằng quy nạp:

  Với n=1 thì: $a_{1}= 1$ ( đúng với giả thiết).

Giả sử khẳng định trên đúng với mọi $n=k$

Xét $n= k+1$ ta có: $a_{k+1}= 2a_{k}- a_{k-1}+ 1= 2\frac{k(k+1)}{2}- \frac{k(k-1)}{2}+1$

                                               $= \frac{2k^{2}+ 2k-k+k-2}{2}= \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

$\Rightarrow$ Khẳng định đúng với mọi $n= k+1$ .

$\Rightarrow A_{n}= 4a_{n}a_{n+2}+1= \frac{4n(n+1)}{2}+\frac{(n+2)(n+3)}{2}+1$

                              $= n(n+1)(n+2)(n+3)+1 \Rightarrow A_{n}= (n^{2}+3n+1)^{2}$ $\rightarrow$ đpcm

P/S: Mình không biết bạn làm theo cách nào mà liên quan đến $a_{0}$ . Còn theo như cách của mình thì đề như vậy là ổn. Nếu được, bạn có thể nói ra cách làm của bạn được không, để cho mình xem với !!^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MarkGot7: 19-04-2018 - 20:00

[Korkot]

Bài 55: Xác định các số nguyên a,b,c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho ta có thể phân tích biểu thức$ f(x)= x(x-a)(x-b)(x-c)+1$ thành tích 2 đa thức có bậc nhỏ hơn 4 và có các hệ số nguyên

Bài 56: Tìm bộ ba số nguyên dương a,b,c sao cho ta có

$$\begin{cases}

 aⁿ=bⁿ+2ⁿ+abc \\

 c=<5.2^n-1 \\

\end{cases} $$

Với n lẻ $>3$

Bài 57: Tìm nghiệm nguyên của pt $ x^3-x^2y+3y-3=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 19-04-2018 - 22:38

[Korkot]

Mình xin giải luôn bài 52: Đặt $ a^4+4a+1 =5^k$

Gọi r là số dư của a khi chia 5 ( 0=<r=<4) .Để M là lũy thừa của 5 thì M chia hết cho 5 nên lần lượt xét các số dư ta thấy chỉ có r=2 thỏa mãn.

=> $a=5x+2$

=> $M = 625x^4 + 1000x^3+ 600x^2 + 160x+16+20x+9= 5^k$

=> $180x+25$ chia hết cho  $5^k$

=> $32x+5$ chia hết cho $5^{k-1}$

Trước tiên ta xét 5 chia hết cho 5^k-1 thì k=1 hoặc k=2. Thay vào M ta tìm được a=0 và a=2 thỏa

Mặt khác ta cũng cần tìm x để x chia hết cho 5^k-1 (32 nguyên tố cùng nhau với 5 nên chỉ xét x)

Từ đó ta thấy $180x+25$ chỉ chia hết cho 25 và không chia hết cho 125 nên k=1 hoặc k=2

=> kết luận

P/S các anh chị cấp 3 không nên giải những bài trong box này để chúng em có thể làm. Nếu các anh chị có giải thì nên đưa bài toán về dạng tổng quát hoặc tìm cách trình bày vừa ngắn gọn vừa đầy đủ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korkot: 20-04-2018 - 06:05

[Tea Coffee]

Bài 57: Tìm nghiệm nguyên của pt $ x^3-x^2y+3y-3=0$

$PT<=>x^{2}(x-y)-3x+3y+3x-3=0<=>x^{2}(x-y)-3(x-y)=3-3x<=>(x^{2}-3)(x-y)=3-3x$

$=>3x-3\vdots x^{2}-3=>3x^{2}-9-3x+9\vdots x^{2}-3<=>3x-9\vdots x^{2}-3=>3x-9-3x+3\vdots x^{2}-3<=>6\vdots x^{2}+3...$

 

Bạn Korkot nếu không gõ LATEX được thì inbox mình chỉ cho nhé với lại thứ tự bài bôi đen cho dễ nhìn nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 19-04-2018 - 23:18