Bài 30: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=xyz$. Chứng minh rằng $\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{z^{2}}+\frac{z}{x^{2}}\geq 3\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \righ
Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b; \frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c= 1$
Bất đẳng thức $\Leftrightarrow \frac{b^{2}}{a}+\frac{c^{2}}{b}+\frac{a^{2}}{c}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
Áp dụng AM-GM: $\frac{b^{2}}{a}+9ab^{2}\geq 6b^{2}$
Thiết lập các bđt tương tự thì bđt cần chứng minh trở thành
$3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 9(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 3(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq 2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})$
Đúng do: $a^{3}+ac^{2}\geq 2a^{2}c$
$b^{3}+ba^{2}\geq 2ab^{2}$
$c^{3}+cb^{2}\geq 2c^{2}b$