Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 01-04-2023 - 20:24
Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 01-04-2023 - 20:24
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$
$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$
$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$
$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Mathematics reveals its secrets only to those who approach it with pure love, for its own beauty.
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh