Chủ đề này có 1 trả lời

[baphuc]

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho tổng tất cả các ước dương của $n$ (tính cả $n$) là $n(p-1)$ với $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-11-2023 - 15:31
Tiêu đề & LaTeX

[nhungvienkimcuong]

Tìm số nguyên dương $n$ sao cho tổng tất cả các ước dương của $n$ (tính cả $n$) là $n(p-1)$ với $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$

Kí hiệu $\sigma(n)$ là tổng các ước dương của $n$, bài này sẽ được xử lí thông qua đánh giá sau:

\[\frac{\sigma(n)}{n}\le \text{Số ước nguyên tố của}\ n.\]

Giả sử phân tích thừa số nguyên tố của $n$ là $p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ ($p_i$ là các số nguyên tố đôi một phân biệt, $a_i$ là các số nguyên dương), khi đó

\[\begin{align*} \frac{\sigma(n)}{n}=\prod_{i=1}^k\left ( 1+\frac{1}{p_i}+\dots+\frac{1}{p_i^{a_i}} \right )&<\prod_{i=1}^k\left ( 1+\frac{1}{p_i}+\dots+\frac{1}{p_i^{a_i}} +\cdots\right )\\&=\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}<\prod_{i=1}^k\frac{1}{1-\frac{1}{i+1}}=k+1.\end{align*}\]

Với kết quả này thì phần còn lại không hề khó, kết hợp với giả thiết thì $p-1\le k$, mặt khác $p\ge 2k-1$ nên $k\le 2$. Từ đây bạn tự xử lí, chỉ cần xét $n\in \{2^x,3^x,2^x3^y\}$ rồi giải phương trình nghiệm nguyên.

 

Ghi chú. Một số bài toán nghiệm nguyên liên quan đến hàm số học có thể tham khảo tại đây, đây và đây.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 16-11-2023 - 05:01