cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$ CMR;
$\frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^{5}+c^{2}+bc+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^{5}+a^{2}+ca+6}}\leq 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hahahahahahahaha: 21-01-2024 - 10:03
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$
Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 - 09:54
bất đẳng thức
#1
Đã gửi 21-01-2024 - 09:54
Hahahahahahahaha
-
- Thành viên
-
- 104 Bài viết
Trung sĩ
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#2
Đã gửi 21-01-2024 - 17:52
habcy12345
-
- Hái lộc VMF 2024
-
- 27 Bài viết
Binh nhất
$\begin{align*}
VT^2&\leq3\sum\frac{1}{a^5+b^2+ab+6}\\
&\leq3\sum\frac{1}{3a^2b+6}\\
&=\sum\frac{1}{a^2b+2}
\end{align*}$
Đổi biến $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$
Khi đó
$\begin{align*}
VT^2&\leq\sum\frac{1}{\displaystyle\frac{x^2}{y^2}.\displaystyle\frac{y}{z}+2}\\
&=\sum\frac{yz}{x^2+2yz}\\
&=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum\frac{x^2}{x^2+2yz}\\
&\leq\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{(\sum x)^2}{\sum x^2+2\sum xy}=1
\end{align*}$
$\Rightarrow VT\leq1$
Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b=c=1$
VT^2&\leq3\sum\frac{1}{a^5+b^2+ab+6}\\
&\leq3\sum\frac{1}{3a^2b+6}\\
&=\sum\frac{1}{a^2b+2}
\end{align*}$
Đổi biến $(a,b,c)=(\frac{x}{y},\frac{y}{z},\frac{z}{x})$
Khi đó
$\begin{align*}
VT^2&\leq\sum\frac{1}{\displaystyle\frac{x^2}{y^2}.\displaystyle\frac{y}{z}+2}\\
&=\sum\frac{yz}{x^2+2yz}\\
&=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum\frac{x^2}{x^2+2yz}\\
&\leq\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\frac{(\sum x)^2}{\sum x^2+2\sum xy}=1
\end{align*}$
$\Rightarrow VT\leq1$
Dấu "$=$" xảy ra khi $a=b=c=1$
- Hahahahahahahaha yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024  bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum (a+b)^{4}\geq \frac{4}{7}\sum a^{4}$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 12-12-2023 bất đẳng thức
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
