tìm các số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ sao cho $144+ p^{n}$ là số chính phương
#1
Đã gửi 02-02-2024 - 17:39
Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường. Nếu trong triệu khả năng, có một khả năng bạn làm được điều gì đó, bất cứ điều gì, để giữ thứ bạn muốn không kết thúc, hãy làm đi. Hãy cạy cửa mở, hoặc thậm chí nếu cần, hãy nhét chân vào cửa để giữ cửa mở.
Where there is a will, there is a way. If there is a chance in a million that you can do something, anything, to keep what you want from ending, do it. Pry the door open or, if need be, wedge your foot in that door and keep it open.
Pauline Kael
#2
Đã gửi 03-02-2024 - 15:51
Đặt $a^2=p^n+144(a \in N)$ $\Leftrightarrow p^n=a^2-144=(a-12)(a+12)$
Từ $p^n=(a-12)(a+12), p $ là số nguyên tố nên $a-12=p^s,a+12=p^t$ với $s,t\in \mathbb{N},s\leq t$
Xét $s=0$ tìm được $a=13,p=5$
Xét $s>0$
Ta có: $p^t-p^s=24 \rightarrow p|24$, mà là số nguyên tố nên $p=2,3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 04-02-2024 - 09:56
- Hahahahahahahaha và everything thích
#3
Đã gửi 04-02-2024 - 09:19
Đặt: $a^2=p^n+144$$(a\in N)$
$\Leftrightarrow p^n=a^2-144=(a-12)(a+12)$
Mà: $a+12+a-12=2a \vdots 2$$\Rightarrow (a+12)(a-12) \vdots 2 \Rightarrow p^n \vdots 2$
$p$ là số nguyên tố $\Rightarrow p=2$
$\Rightarrow 2^n=(a+12)(a-12)$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2^x=a+12 & \\2^y=a-12 & \end{matrix}\right.$ với $(x+y=n;x>y;x,y\in N)$
$\Rightarrow 2^x-2^y=a+12-(a-12)=24\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=24$
Rồi xét các TH
Đoạn này sai rồi
#4
Đã gửi 04-02-2024 - 10:53
Đặt $144+p^n=(12+k)^2 \Leftrightarrow p^n=24k+k^2 \Rightarrow p^n \vdots k \Rightarrow k \in \left \{ 1;p \right \} $
Xét $k=1$ ...
Xét $k=p$ có $p^n=24p+p^2$
TH1: $n \geq 2 \Rightarrow 24 \vdots p$ ...
TH2: $n=1$ ...
TH3: $n=0$ ...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số chính phương
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh