Chủ đề này có 4 trả lời

[abcde0101]

Bài 1 :
Cho $P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c$ thỏa mãn:
$\left | P\left ( x \right ) \right |\leq 1$ khi $\left | x \right |\leq 1$
CM: Nếu $\left | x \right |\leq 1$ thì $\left | cx^{2}+bx+a \right |\leq 2$
Bài 2 :
Cho $x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn: $x^{5}-x^{3}+x=2$
CM: $3< x^{6}< 4$
Bài 3 :
Cho $a,b> 0$ và $a^{3}+b^{3}=a-b$
CM: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}.ab< 1$
Bài 4 :
Cho $ad-bc=1$.
CM: $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \right )^{2}\geq 3$

[beppkid]

Bài 3 :
Cho $a,b> 0$ và $a^{3}+b^{3}=a-b$
CM: $a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}.ab< 1$

từ điều kiện $\Rightarrow$ a>b
$\Rightarrow$ $a^{3}-b^{3}< a^{3}+b^{3}=a-b$
$\Rightarrow (a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)< a-b$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab < 1$ (đpcm)

[beppkid]

Bài 4 :
Cho $ad-bc=1$.
CM: $\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd \right )^{2}\geq 3$

có $(ad-bc)^{2}+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
$\Rightarrow 1+(ac+bd)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$
AD BĐT Cauchy:
$(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})\geq 2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})}$
Xét $2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})} +ac+bd=2\sqrt{1+(ac+bd)^{2}}+ac+bd\geq \sqrt{3}$
Đặt ac+bd=x
$\Rightarrow 3\leq (x+2\sqrt{1+x^{2}})^{2}
=x^{2}+4\sqrt{1+x^{2}}+4(1+x^{2})
=4x^{2}+4\sqrt{1+x^{2}}+(1+x^{2})+3
=(2x+\sqrt{1+x^{2}})^{2}+3$ (luôn đúng)
$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ac+bd)^{2}\geq 3$ (đpcm)

[sonksnb]

từ điều kiện $\Rightarrow$ a>b
$\Rightarrow$ $a^{3}-b^{3}< a^{3}+b^{3}=a-b$
$\Rightarrow (a-b)(a^{2}+b^{2}+ab)< a-b$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab < 1$ (đpcm)

Bài 3 cho mình hỏi $\frac{1}{2}ab$ ở đau vậy

[beppkid]

Bài 3 cho mình hỏi $\frac{1}{2}ab$ ở đau vậy

đề bài hỏi vậy thì mình trả lời vậy.
$1>a^{2}+b^{2}+ab>a^{2}+b^{2}+\frac{1}{2}ab$