Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhducmath]

Cho a,b,c là các số thực tùy ý.CMR
$\left ( a+b-c \right )^{2}\left ( b+c-a\right )^{2}\left ( a+c-b \right )^{2}\geq \left ( a^{2}+b^{2}-c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2}-b^{2} \right )$

[Sagittarius912]

Cho a,b,c là các số thực tùy ý.CMR
$\left ( a+b-c \right )^{2}\left ( b+c-a\right )^{2}\left ( a+c-b \right )^{2}\geq \left ( a^{2}+b^{2}-c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2}-b^{2} \right )$

Tiếp tục làm bài mè xưa năm mới ^^
@TH1: nếu $a^{2};b^{2};c^{2}$ không phải là 3 cạnh của 1 tam giác thì bdt hiển nhiên đúng ( do VP<0 và $VT \ge 0$)
@TH2. Giả sử $a^{2};b^{2};c^{2}$ không phải là 3 cạnh 1 tam giác. khi đó 2 trong 3 bdt sau sẽ sai

$a^{2}+b^{2}\geq c^{2}$

$c^{2}+b^{2}\geq a^{2}$

$c^{2}+a^{2}\geq b^{2}$

không mất tính tổng quát, 2 bdt đó là

$a^{2}+b^{2} < c^{2}$ và $c^{2}+b^{2} < a^{2}$

=> $b^{2} <0$ ( vô lí )
Do đó $a^{2};b^{2};c^{2}$ là 3 cạnh 1 tam giác

BDT cần chứng minh được viết lại thành

$[a^{2}-(b-c)^{2}][b^{2}-(c-a)^{2}][c^{2}-(a-b)^{2}]\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

Bây giờ ta sẽ chứng minh

$[a^{2}-(b-c)^{2}]^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$

$\Leftrightarrow a^{4}-2a^{2}(b-c)^{2}+(b-c)^{4}\ge a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}$

$\Leftrightarrow 2(b-c)^{2}[b^{2}+c^{2}-a^{2}]\geq 0$ (
đúng)

Thiết lập 2bdt tương tự, nhân cùng chiều lại với nhau => dpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-02-2013 - 20:14