$\left ( a+b-c \right )^{2}\left ( b+c-a\right )^{2}\left ( a+c-b \right )^{2}\geq ..$
#1
Đã gửi 07-02-2013 - 19:54
$\left ( a+b-c \right )^{2}\left ( b+c-a\right )^{2}\left ( a+c-b \right )^{2}\geq \left ( a^{2}+b^{2}-c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2}-b^{2} \right )$
#2
Đã gửi 10-02-2013 - 20:14
Tiếp tục làm bài mè xưa năm mới ^^Cho a,b,c là các số thực tùy ý.CMR
$\left ( a+b-c \right )^{2}\left ( b+c-a\right )^{2}\left ( a+c-b \right )^{2}\geq \left ( a^{2}+b^{2}-c^{2} \right )\left ( b^{2}+c^{2}-a^{2} \right )\left ( c^{2}+a^{2}-b^{2} \right )$
@TH1: nếu $a^{2};b^{2};c^{2}$ không phải là 3 cạnh của 1 tam giác thì bdt hiển nhiên đúng ( do VP<0 và $VT \ge 0$)
@TH2. Giả sử $a^{2};b^{2};c^{2}$ không phải là 3 cạnh 1 tam giác. khi đó 2 trong 3 bdt sau sẽ sai
$a^{2}+b^{2}\geq c^{2}$
$c^{2}+b^{2}\geq a^{2}$
$c^{2}+a^{2}\geq b^{2}$
không mất tính tổng quát, 2 bdt đó là$a^{2}+b^{2} < c^{2}$ và $c^{2}+b^{2} < a^{2}$
=> $b^{2} <0$ ( vô lí )Do đó $a^{2};b^{2};c^{2}$ là 3 cạnh 1 tam giác
BDT cần chứng minh được viết lại thành
$[a^{2}-(b-c)^{2}][b^{2}-(c-a)^{2}][c^{2}-(a-b)^{2}]\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$
Bây giờ ta sẽ chứng minh
$[a^{2}-(b-c)^{2}]^{2}\geq (a^{2}+b^{2}-c^{2})(c^{2}+a^{2}-b^{2})$
$\Leftrightarrow a^{4}-2a^{2}(b-c)^{2}+(b-c)^{4}\ge a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}$
$\Leftrightarrow 2(b-c)^{2}[b^{2}+c^{2}-a^{2}]\geq 0$ (
đúng)
Thiết lập 2bdt tương tự, nhân cùng chiều lại với nhau => dpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 10-02-2013 - 20:14
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh