Chủ đề này có 1 trả lời

[namcpnh]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $(a+b-c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c})=4$ . CMR :

 

$(a^4+b^4+c^4)(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4})\geq 2304$

[maitienluat]

Đặt $\frac{a}{b}=u$. Từ giả thiết ta có

$$4=(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )-\left [ (a+b)\frac{1}{c}+\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )c \right ]+1$$

$$\leq (a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )-2\sqrt{(a+b)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )}+1=\left ( \sqrt{u+\frac{1}{u}+2}-1 \right )^{2}$$

$$\Rightarrow u+\frac{1}{u}\geq 7$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$$(a^{4}+b^{4}+c^{4})\left ( \frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{c^{4}} \right )\geq \left [ \sqrt{(a^{4}+b^{4})\left ( \frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}} \right )}+1 \right ]^{2}=\left [ \sqrt{u^{4}+\frac{1}{u^{4}}+2}+1 \right ]^{2}=\left ( u^{2}+\frac{1}{u^{2}}+1 \right )^{2}=\left [ \left ( u+\frac{1}{u} \right )^{2}-1 \right ]^{2}\geq (7^{2}-1)^{2}=2304$$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 15-04-2013 - 17:56