Bài toán 3 :Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thoả mãn :
1)$f(2x)=f^2(x)$
2) $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$
3)$f(x)\geq 1+x$
Bài giải :
Từ $(1)$ chứng minh bằng quy nạp ta được $f(x)=\left (f\left ( \frac{x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}$ $(4)$
Ta sử dụng giới hạn sau: $\lim_{n \rightarrow +\infty } \left ( 1+\frac{x}{n} \right )^n=e^x$
Từ $(4)$ và $(3)$ cho $n \rightarrow +\infty$ ta có :
$f(x)=\left ( f\left ( \frac{x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{x}{2^n} \right )^{2^n}= e^x$ $(5)$
$f(-x)=\left ( f\left ( \frac{-x}{2^n} \right ) \right )^{2^n}\geq \left ( 1+\frac{-x}{2^n} \right )^{2^n}= e^{-x}$
Theo $(2)$ được $\frac{1}{f(x)}=f(-x)\geq e^{-x}=\frac{1}{e^x}\Leftrightarrow f(x)\leq e^x$ $(6)$
Từ $(5)$ và $(6)$ có $e^x\geq f(x)\geq e^x \Rightarrow f(x)=e^x$ (thỏa)
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=e^x$
------------
Ps: Bài này của Idie9xx, giải giống cách của mình. Các bạn like bài của Idie9xx.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 16-05-2013 - 19:10