Đến nội dung


Hình ảnh

$f(m+f(n))=n+f(m+2014)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 21-05-2013 - 07:13

Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 21-05-2013 - 14:49

Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$ $(*)$

Cho $a=2014$. Thay $n$ bằng $b+f(n)$ vào $(*)$ ta có:

$f(m+f(b+f(n)))=b+f(n)+f(m+a)$ và

$f(m+f(b+f(n)))=f(m+n+f(b+a))=b+a+f(m+n+a)$

$\Rightarrow f(m+n+a)+a=f(n)+f(m+a)$

Bằng qui nạp ta chứng minh được $f(m+n+a)+na=nf(1)+f(m+a)$

$\Rightarrow f(n)=nf(1)-(n-1)a$

Thay vào $(*)$ tìm được $f(1)=a+1 \Rightarrow f(n)=n+a$

Vậy hàm thỏa đề là $f(n)=n+2014$ >:)


$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 21-05-2013 - 19:22

Cho $a=2014$. Thay $n$ bằng $b+f(n)$ vào $(*)$ ta có:

$f(m+f(b+f(n)))=b+f(n)+f(m+a)$ và

$f(m+f(b+f(n)))=f(m+n+f(b+a))=b+a+f(m+n+a)$

$\Rightarrow f(m+n+a)+a=f(n)+f(m+a)$

Bằng qui nạp ta chứng minh được $f(m+n+a)+na=nf(1)+f(m+a)$

$\Rightarrow f(n)=nf(1)-(n-1)a$

Thay vào $(*)$ tìm được $f(1)=a+1 \Rightarrow f(n)=n+a$

Vậy hàm thỏa đề là $f(n)=n+2014$ >:)

tại sao bạn lại nghĩ ra được cách đặt như vậ  :wacko:


Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#4 thukilop

thukilop

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Điện Bàn
  • Sở thích:Quảng Nam

Đã gửi 28-05-2013 - 15:17

Bài 13: Tìm $f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^*$ thỏa : $f(m+f(n))=n+f(m+2014)$

theo mình nghĩ bạn idexx dùng pp thêm biến.....

$\boxed{\text{Second Solutions}}$

-- Dễ dàng chứng minh được f đơn ánh

 

-- Cho $n=1$ => $f(f(1)+m)=1+f(m+2014)$

 

-- Thay m bởi $f(n)$ suy ra: 

 

$f(f(1)+f(n))=1+f(f(n)+2014)=n+1+f(2014+2014)=f(2014+f(n+1))$

 

Do đơn ánh => $f(1)+f(n)=2014+f(n+1)=>f(n)-f(n-1)=a-2014$ ($a=f(1)$)

 

Từ đó ta có: 

  • $f(2)-f(1)=a-2014$
  • $f(3)-f(2)=a-2014$

  • $f(4)-f(3)=a-2014$

               ........

  • $f(n)-f(n-1)=a-2014$

 

=> $f(n)-f(1)=(n-1)(a-2014)<=> f(n)=(a-2014)n+2014=bn+2014 $ ($b=a-2014$)

 

-- Thế lại pt hàm ban đầu để tìm b => $b=1$ (loại TH $b=-1$ do f nguyên dương)

Suy ra $f(n)=n+2014$

* Thử lại thấy đúng

$\boxed{{KL}}$ $f(n)=n+2014$


-VƯƠN ĐẾN ƯỚC MƠ-






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh