3 replies to this topic

[namcpnh]

Bài 15 : Xây dựng 1 hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$

Edited by namcpnh, 22-05-2013 - 21:23.

[Idie9xx]

Bài 15 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f(xf(y))=\frac{f(x)}{y}$

Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.

Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$

Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$

Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.

Vậy không có hàm nào thỏa đề

------------

Hai dòng cuối sai nhé ta cứ làm theo cách mà ntuan5 nói ở dưới

Edited by Idie9xx, 23-05-2013 - 06:50.

[namcpnh]

Cố định $x$ dễ thấy $f$ song ánh.

Cho $x=y=1$ có $f(f(1))=f(1) \Rightarrow f(1)=1$

Cho $x=1$ có $f(f(y))=\frac{1}{y}$ $(*)$

Thay $x$ bằng $f(x)$ có $f(f(x)f(y))=\frac{f(f(x))}{y}=\frac{1}{xy}=f(f(xy)) \Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$

Vậy $f$ là hàm nhân tính trên tập $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thay vào $(*)$ thấy không tồn tại $a$ thỏa mãn.

Vậy không có hàm nào thỏa đề

 

 

Bài này có nghiệm Idie9xx ơi.

[ntuan5]

Lúc chứng minh được nhân tính chỉ cần xây dựng các hàm theo các tập nguyên tố $(p);(q)$. Có thể chọn $f(q_i)=\frac{1}{p_i}; f(p_i)=q_i$.