Đến nội dung


Hình ảnh

$f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$

100hamso

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 21:26

Bài 17 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 22-05-2013 - 21:28

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 Idie9xx

Idie9xx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A4 - Tân Lập

Đã gửi 22-05-2013 - 22:01

Bài 17 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa : $f((f(x))^2y)=x^3f(xy)$

Cho $y=1$ có $f((f(x))^2)=x^3f(x)$ dễ thấy $f$ song ánh.

Thay $y=4$ bằng $(f(y))^2$ có $f((f(x)f(y))^2)=x^3f(x(f(y))^2)=(xy)^3f(xy)=f((f(xy))^2)\Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)$

Ta có $(f(f(x)))^2=x^3f(x)$

Sử dụng dãy $x,f(x),f(f(x)),...,f^{n-1}(x),f^n(x),...$ (với $f^n(x)=f(f^{n-1}(x))$)

Dễ thấy $f^n(x)=a^{(-1)^n}b^{(\frac{3}{2})^n}$

Do tập giá trị của $f$ là $\mathbb{Q^+}$ nên $n \rightarrow +\infty \Rightarrow b=1$

Mà $ab=x$ và $a^{-1}b^{\frac{3}{2}}=f(x) \Rightarrow b^{\frac{5}{2}}=xf(x) \Rightarrow f(x)=\frac{1}{x}$ (thoả)

Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\frac{1}{x}$ :)

-------------------

 

Hàm không liên tục nên không thể có màu đỏ được .

 

Ừ đã sửa lại ở trên rồi :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 23-05-2013 - 07:10

$\large \circ \ast R_f\cdot Q_r\cdot 1080\ast \circ$

#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 22-05-2013 - 22:03

Cho $y=1$ có $f((f(x))^2)=x^3f(x)$ dễ thấy $f$ song ánh.

Thay $y=4$ bằng $(f(y))^2$ có $f((f(x)f(y))^2)=x^3f(x(f(y))^2)=(xy)^3f(xy)=f((f(xy))^2) \Rightarrow f(x)f(y)=f(xy)$

Vậy $f$ nhân tính trên $\mathbb{Q^+}$ nên $f(x)=x^a$ thử lại tìm được $a=-1$ (thỏa) và $a=\frac{3}{2}$ (không thỏa)

Vậy hàm thỏa mãn đề là $f(x)=\frac{1}{x}$ :)

 

Hàm không liên tục nên không thể có màu đỏ được .


Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh