Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \left( \sqrt{a}\ +\sqrt{b}\ + \sqrt{c} \right) +\frac{1}{1+a}\ + \frac{1}{1+b}\ + \frac{1}{1+c}\ge\ 3 $$
(Macedonian JBMO TST 2013)
Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \left( \sqrt{a}\ +\sqrt{b}\ + \sqrt{c} \right) +\frac{1}{1+a}\ + \frac{1}{1+b}\ + \frac{1}{1+c}\ge\ 3 $$
(Macedonian JBMO TST 2013)
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Bài 3. Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{2} \left( \sqrt{a}\ +\sqrt{b}\ + \sqrt{c} \right) +\frac{1}{1+a}\ + \frac{1}{1+b}\ + \frac{1}{1+c}\ge\ 3 $$
(Macedonian JBMO TST 2013)
Ta có:
$$\dfrac{\sqrt{a}}{2}+\frac{1}{a+1}-1 \geq 0$$ với mọi $a>0$
Chứng minh tương tự với $b,c$ ta có đpcm
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Vậy giả thiết của Jinbe là thừa rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 26-05-2013 - 21:24
Tác giả :
Lương Đức Nghĩa
Cái giả thiết chỉ là bù nhìn thôi. Đâu tiên ta có :
\[\frac{1}{2}(\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c ) \ge \frac{3}{2}\]
Tiếp theo:
\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} + \frac{1}{{1 + c}} \ge \frac{3}{{1 + \sqrt[3]{{abc}}}} = \frac{3}{2}\]
Thế là xong! Cái bất đẳng thức phụ thứ hai là được suy ra từ bất đẳng thức phụ sau:
\[\frac{1}{{1 + a}} + \frac{1}{{1 + b}} \ge \frac{2}{{1 + \sqrt {ab} }}\]
P/S: cais mathtype cua em co van de mong moij nguoi thu loi!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duc12116: 27-05-2013 - 20:44
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh