Bài toán 36 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$
#1
Đã gửi 29-05-2013 - 21:08
- Dialga Palkia yêu thích
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Đã gửi 31-05-2013 - 08:23
Bài toán 36 : Tìm $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa $f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$
Cho $P(x;y):f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}$
$P(1;1)\Rightarrow 4f(1)=\frac{f(1)}{f(2)}\Rightarrow f(2)=\frac{1}{4}$
$P(2;2)\Rightarrow 2f(2)+8f(4)=1\Rightarrow f(4)=\frac{1}{16}$
$P(1;2)\Rightarrow f(1)+f(2)+4f(2)=\frac{f(2)}{f(3)}\Rightarrow f(1)+\frac{5}{4}=\frac{1}{4f(3)}$ $(1)$
$P(1;3)\Rightarrow f(1)+f(3)+6f(3)=\frac{f(3)}{f(4)}\Rightarrow f(1)=9f(3)$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(1)=1$ và $f(3)=\frac{1}{9}$
$P(1;x)\Rightarrow f(1)+f(x)+2xf(x)=\frac{f(x)}{f(x+1)}\Rightarrow \frac{1}{f(x)}+2x+1=\frac{1}{f(x+1)}$
Bằng qui nạp chứng minh được $\frac{1}{f(x)}+2xn+n^2=\frac{1}{f(x+n)},n\in \mathbb{N}$
Thay $x=1$ từ đó chứng minh được $f(x)=\frac{1}{x^2},x\in \mathbb{N^*}$
$P(n;x)\Rightarrow f(n)+f(x)+2nxf(nx)=\frac{f(nx)}{f(x+n)}$ với $n\in \mathbb{N^*}$
$\Rightarrow \frac{1}{n^2}+f(x)+2nxf(nx)=f(nx)(\frac{1}{f(x)}+2nx+n^2) \Rightarrow f(x)=n^2f(nx)$
Ta có $f(\frac{m}{n})=n^2f(m)=\frac{n^2}{m^2}f(1)=\frac{n^2}{m^2}$ với $m,n\in \mathbb{N^*}$
Từ đó chứng minh được $f(x)=\frac{1}{x^2}$ với $x\in \mathbb{Q^+}$
Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=\frac{1}{x^2}$
- namcpnh, Idie9xx, holmes2013 và 2 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: 100hamso
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$P_{i+1}(x)=P_1(P_i(x))$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$\left | x-y \right |^2<\left | f(x)-f(y) \right |\leq \left | x-y \right |$Bắt đầu bởi namcpnh, 09-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+y)\geq f(x)+f(y)$, $\forall x,y\in \mathbb{R}$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(f(x)+y)g(x)=f(x)g(x)+6xy+6x$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x^3-y)+2y(3(f(x))^2+y^3)=f(f(x)+y)$Bắt đầu bởi namcpnh, 07-06-2013 100hamso |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh