Bài toán 37: Có bao nhiêu hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ thỏa $f(f(n))=n+4$.
Giải :
Lời giải cho phần tiếp theo (đã nghĩ ra):ta xét các số n có dạng 4t+r (trong đó r có thể là 0,1,2,3 và t là số tự nhiên). Khi đó $f(n)=f(4t+r)=f(r)+4t$. Rõ ràng tất cả các giá trị của hàm số đều được tính theo giá trị của f(r) (Chỉ cần xử 4 giá trị f(0),f(1),f(2),f(3) là xong). Bây giờ ta xét tập A={0;1;2;3} có 4 phần tử. Với mọi r thuộc vào tập A thì f(r)=s+4t với t là số tự nhiên, còn s là một giá trị của hàm f tại một số r duy nhất (hay s là duy nhất). Ta có $f(r)=s+4t$ suy ra $f(f(r))=f(s+4t)=f(s)+4t$ hay là $r+4=f(s)+4t$. Ta thấy rằng với mọi số tự nhiên t không nhỏ hơn 2 thì $r=f(s)+4(t-1)\geq f(s)+4\geq 4$, đó là điều vô lí. Vậy chỉ có hai khả năng xảy ra:
1) k=0. Khi đó $f(r)=s, f(s)=r+4$.
2) k=1. Khi đó $f(r)=s+4, f(s)=r$.
Ta thấy rằng f(r) khác so với f(s) thì r sẽ khác s (do ta vừa chứng minh hàm f đơn ánh).
Ta có thể khẳng định tập A được chia thành các cặp (r;s) với $f(r)=s, f(s)=r+4$ hoặc $f(r)=s+4, f(s)=r$. Bây giờ ta sẽ đi dựng xây các hàm f thỏa đề bài. Ta chia tập A thành 2 cặp (r;s) tương ứng khác nhau lấy từ 4 phần tử trong tập A (giao của hai tập con là rỗng và các phần tử trong mỗi tập con đôi một khác nhau) là $(a_{1};b_{1});(a_{2};b_{2})$ sao cho giá trị của hàm f xác định như sau:$f(a_{i})=b_{i}, f(b_{i})=a_{i}+4$. Ta chứng minh hàm f thỏa mãn điều kiện bài toán.
Lấy số tự nhiên n tùy ý, khi đó tồn tại duy nhất r và t sao cho $n=r+4t$ ( r thuộc tập A và t là số tự nhiên).
Nếu $r=a_{i}$ ( với i có thể là 1 hoặc 2) thì ta có $f(n)=f(a_{i}+4t)=f(a_{i})+4t=b_{i}+4t$ cho nên $f(f(n))=f(b_{i}+4t)=f(b_{i})+4t=a_{i}+4+4t=n+4$.
Nếu $r=b_{i}$ thì cũng lặp luận tương tự ta suy ra hệ thức đề bài. Do đó tất cả hàm f được xây dựng như trên thỏa đề bài.
Chia tập A thành 2 cặp (0;3) và (2;1) thì hàm f được xác định như sau: $f(0)=3; f(3)=4; f(2)=1; f(1)=6$.
Khi đó hàm được xác định như sau:
n=4t thì $f(n)=f(0)+4t=4t+3=n+3$.
n=4t+1 làm tương tự được $f(n)=n+5$
n=4t+2 thì $f(n)=n-1$.
n=4t+3 thì $f(n)=n+1$.
Nếu chia thành 2 cặp (0;3) và (1;2) thì làm tương tự ta cũng được các hàm thỏa mãn (lưu ý còn nhiều trường hợp lắm, làm thử xem. Hình như đúng là có 12 hàm thỏa mãn(mặc dù chưa thử)). Tóm lại bài toán đã được giải quyết trọn vẹn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-06-2013 - 12:34