Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho bđt sau đúng vs mọi $x,y,z>0$
$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho bđt sau đúng vs mọi $x,y,z>0$
$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho bđt sau đúng vs mọi $x,y,z>0$
$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Cho $x=y=z=t$ ta có $3t\sqrt{t}\leq 2\sqrt{2}kt\sqrt{t}$ $\Rightarrow k\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}$
Với $k= \frac{3}{2\sqrt{2}}$ ta phải chứng minh:
$8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$.
Ta có $8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$ (bdt bunhia)
Nên ta phải chứng minh:$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$.Đúng.
Cho $x=y=z=t$ ta có $3t\sqrt{t}\leq 2\sqrt{2}kt\sqrt{t}$ $\Rightarrow k\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}$
Với $k= \frac{3}{2\sqrt{2}}$ ta phải chứng minh:
$8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$.
Ta có $8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$ (bdt bunhia)
Nên ta phải chứng minh:$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$
$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$.Đúng.
tại sao cho $x=y=z$ lại có thể xác định miền của $k$ vậy
có thể là nó đúng với mọi $x,y,z$ nhưng cứ cho $x=y=z$ thì nó sẽ quét hết tất cả các giá trị ???
tại sao cho $x=y=z$ lại có thể xác định miền của $k$ vậy
có thể là nó đúng với mọi $x,y,z$ nhưng cứ cho $x=y=z$ thì nó sẽ quét hết tất cả các giá trị ???
Cho $x=y=z$ để xác định $k$ là điều kiện cần bạn ạ.Sau đó ta phải chứng minh với $k$ tìm được,bất đẳng thức đúng.
Giải như sau
Ta cần tìm $k$ nhỏ nhất thỏa mãn
$ (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq K^2(x+y)(y+z)(z+x) $
Lại có
$ (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2 =\sum_{cyc}x^2y+2(\sum_{cyc}xy\sqrt{yz})\leq\sum_{cyc}x^2y+2(\sum_{cyc}\frac{xyz+xy^2}{2}) = (x+y)(y+z)(z+x)+xyz\leq (x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) =\frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x) $
Nên $ K^2\geq\frac{9}{8}\rightarrow K\geq\frac{3}{2\sqrt{2}} $
Dấu $'='$ xayr ra nếu và chỉ nếu $x=y=z$
QED.
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$Cho a,b,c\geq 0 \sum a\doteq 1 \sum \sqrt{\frac{a}{2a^{2}+bc}}\geq 2$Bắt đầu bởi TARGET, 07-03-2022 bdt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sqrt{\frac{4x^2+y^2}{2}}+\sqrt{\frac{4x^2+2xy+y^2}{3}}\geq 2x+y$Bắt đầu bởi lmtrtan123334, 18-10-2021 bdt |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của $P=8(a^2+b^2)-2a-2b$ biết $2a\sin^2 x+b(\sin x-\cos x)^2=0$ luôn có nghiệmBắt đầu bởi hieulu, 02-09-2021 toán 12, bdt, khó |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
Bất đẳng thứcBắt đầu bởi yungazier, 12-08-2021 batdangthuc, bdt |
|
||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Bất đẳng thức và cực trị →
CMR $ 3\sum \frac{b}{a+b+1} \geq \sum \frac{4-a}{a+2} $Bắt đầu bởi Sin99, 24-07-2019 bdt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh