Chủ đề này có 4 trả lời

[19kvh97]

Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho bđt sau đúng vs mọi $x,y,z>0$

$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

[nguyenthehoan]

Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho bđt sau đúng vs mọi $x,y,z>0$

$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq k\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Cho $x=y=z=t$ ta có $3t\sqrt{t}\leq 2\sqrt{2}kt\sqrt{t}$ $\Rightarrow k\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}$

 

Với $k= \frac{3}{2\sqrt{2}}$ ta phải chứng minh:

 

$8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$.

 

Ta có $8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$  (bdt bunhia)

 

Nên ta phải chứng minh:$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$

 

$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$.Đúng.

[19kvh97]

Cho $x=y=z=t$ ta có $3t\sqrt{t}\leq 2\sqrt{2}kt\sqrt{t}$ $\Rightarrow k\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}$

 

Với $k= \frac{3}{2\sqrt{2}}$ ta phải chứng minh:

 

$8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$.

 

Ta có $8(x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^{2}\leq 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$  (bdt bunhia)

 

Nên ta phải chứng minh:$8(x+y+z)(xy+yz+zx)\leq 9(x+y)(y+z)(z+x)$

 

$\Leftrightarrow x(y-z)^{2}+y(z-x)^{2}+z(x-y)^{2}\geq 0$.Đúng.

tại sao cho $x=y=z$ lại có thể xác định miền của $k$ vậy

có thể là nó đúng với mọi $x,y,z$ nhưng cứ cho $x=y=z$ thì nó sẽ quét hết tất cả các giá trị ???

[nguyenthehoan]

tại sao cho $x=y=z$ lại có thể xác định miền của $k$ vậy

có thể là nó đúng với mọi $x,y,z$ nhưng cứ cho $x=y=z$ thì nó sẽ quét hết tất cả các giá trị ???

Cho $x=y=z$ để xác định $k$ là điều kiện cần bạn ạ.Sau đó ta phải chứng minh với $k$ tìm được,bất đẳng thức đúng.

[barcavodich]

Giải như sau 

Ta cần tìm $k$ nhỏ nhất thỏa mãn 

$ (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2\leq K^2(x+y)(y+z)(z+x) $

Lại có

$ (x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x})^2 =\sum_{cyc}x^2y+2(\sum_{cyc}xy\sqrt{yz})\leq\sum_{cyc}x^2y+2(\sum_{cyc}\frac{xyz+xy^2}{2}) = (x+y)(y+z)(z+x)+xyz\leq (x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{8}(x+y)(y+z)(z+x) =\frac{9}{8}(x+y)(y+z)(z+x) $

Nên $ K^2\geq\frac{9}{8}\rightarrow K\geq\frac{3}{2\sqrt{2}} $

Dấu $'='$ xayr ra nếu và chỉ nếu $x=y=z$

QED.