fghost

Mình nghĩ đó là trọng điểm của bài này. Tức là chứng minh các hộp mở đó được sinh ra bởi tập $\{\Pi (-\infty, a_i)\}$. Mình thử chứng minh trường hợp $n=1$, bạn có thể sửa lại lời giải cho $n$ tổng quát, hay dùng quy nạp.

 

Ta muốn chứng minh với mọi $a,b \in R$, $(a,b)$ được sinh ra bằng đại số $\sigma$ của $X=\{(-\infty, c)\}$. Để xem, $[\alpha,b)=(-\infty,b) \cap (R-(\infty,\alpha)) \in A_\sigma(X)$, với mọi $\alpha <b$. Ta có thể chọn $\alpha_n=a+ 1/n$. Như vậy, $(a,b)= \cup [a+1/n,b) \in A_\sigma(X).$

 

Như vậy ta có, $B( R) \subset A_\sigma(X)$ (thật ra là bằng nhau). Sau đó, $B(Y)=\{A \cap Y: A \in B( R)\} \subset \{A \cap Y: A \in A_\sigma(X)\} \subset VP$.

 

Dấu $\subset$ cuối cùng không dễ thấy trực tiếp, nếu bạn không tin hay không dễ thấy, thì mình sẽ suy nghĩ cách chứng minh cho dấu đó.

Để mình chứng minh nốt phần còn lại. 

$$\{A \cap Y: A \in A_\sigma(X)\} \subset A_\sigma\{Y \cap A: A \in X\}$$

Gọi là VT và VP lần nữa.

(thật ra ở đây là đẳng thức "=" chứ không phải chỉ là quan hệ tập con, nhưng ở đây ta chỉ cần quan hệ tập con là đủ. Điều này có thể hiểu nôm na là việc sinh ra đại số $\sigma$ từ 1 tập và sau đó giao với $Y$ giống như ta giao với $Y$ sau đó sinh ra đại số $\sigma$. Đó là vì việc sinh ra đại số $\sigma$ chỉ là lấy giao, hợp, phần bù của những "phần tử", và "tương thích" với việc giao với $Y$, nên ta có thể giao với $Y$ trước hay sau cũng vậy).

Xét 1 đại số $\sigma$ khác: $\sum = \{A \subset R: Y \cap A \in VP\}$. Bạn check $\sum$ là đại số $\sigma$. Sau đó, ta có
$$\{Y \cap A: A \in X\} \subset VP \Rightarrow X=\{A: A \in X\} \subset \sum$$

Vì vậy, $A_\sigma(X) \subset \sum$ vì $\sum$ là đại số $\sigma$. Sau đó, theo định nghĩa của $\sum$ ta có $\forall A \in A_\sigma(X), Y \cap A \in VP$, là đpcm.

Đầu tiên bạn bắt đầu từ

$$I= -2 \int_{0}^{\pi/2}ln(sin(\theta))d\theta$$

Đó là tích phân cần tìm.

Khi lời giải nói map $\theta \mapsto 2\theta$, mình đoán ý tác giả là trong 4 khoảng, $[0, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \pi], [\pi, \frac{3\pi}{2}], [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, ta có $\int ln|sin(u)| du$ có giá trị như nhau. Vì vậy

$$I= -2 \int_{0}^{\pi/2}ln|sin(\theta)|d\theta= -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} ln|sin(u)|du$$

Mặt khác, ta có

$$-\int_{0}^{\pi}ln|sin(2\theta)|d\theta=-\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}ln|sin(u)|du, \text{ với } u=2\theta$$

Vì vậy, ta có $I=-\int_{0}^{\pi}ln|sin(2\theta)| d\theta$

Vì sao trong 4 khoảng nhỏ trên, tích phân có giá trị như nhau? Mình không chắc điều đó là đúng, vì thật sự tại $0$, ta có $ln|sin(0)|=ln(0)$, vì vậy tích phân $I$ cần tìm có thể không giá định. Giả sử, $I$ xác định (tức là có giá trị hữu hạn), thì tích phân trong 4 đoạn nhỏ trên chỉ là diện tích dưới 4 đồ thị $ln|sin(u)|$, mà $|sin(u)|$ có giá trị như nhau trên 4 đoạn đó, nên tích phân là như nhau. (đại ý là như vậy, mình không biết chứng minh cụ thể ra đâu).

À, như bạn Nxb có nói, lời giải trên thiếu giá trị tuyệt đối thật.

Cho em hỏi ở chỗ hệ quả 3.8: 

 

$\varphi : K[X] \rightarrow K[X]$

kí hiệu $K[X]$ có phải là không gian X trên trường K không ạ?

nhưng ở dưới lại có có $X^n$ trong thân hàm là sao ạ?

 

-và tại sao nó là đơn cấu và không là toàn cấu ạ?

 

--------------------------------------------------------------------------

 

ở định nghĩa 4.1:

 

tại sao chiều của V* lại bằng tích chiều của K và chiều của V ạ?

và tại sao nó không đúng khi V vô hạn chiều ạ?

mình không rành lắm về đại số tuyến tính, biết đến đâu thì nói đến đó vậy.

$K[X]$ là vành đa thức với biến $X$ và hệ số trong trường $K$, thí dụ phần tử của $K[X]$ là $1+X+X^2+X^3$. Đa thức theo định nghĩa chỉ có hữu hạn đơn thức, và có hữu hạn bậc. Thí dụ vừa rồi có bậc $3$.

Và vành đa thức cũng được xem như không gian vector với vô hạn chiều, trên trường $K$ (bạn có thể kiểm tra những điều kiện của không gian vector, bạn sẽ thấy. Hay dễ thấy $K[X]$ là vành giao hoán, nên cũng là nhóm giao hoán, và phép nhân với phần tử trong $K$ tương thích với phép cộng của 2 biểu thức). Không gian vector này vô hạn chiều vì tập $\{1, X, X^2, X^3, \dots\}$ độc lập tuyến tính.

Vì sao $X^n \mapsto X^{n+1}$ là đơn cấu, là vì phần tử duy nhất có ảnh $0$ là $0$ (bạn nhìn vào bậc sẽ thấy, mọi đa thức $p(X)$ sẽ có ảnh $Xp(X)$). Nó không toàn cấu vì không có đa thức nào cho ảnh $1$.

$V^*$ có số chiều bằng số chiều của $V$ (nếu $V$ hữu hạn chiều), là vì khi $V$ hữu hạn chiều, ta có cơ sở cho $V$. Giữ cố định cơ sở đó. Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính của $V \rightarrow K$ được xác định bằng ảnh của mỗi phần tử của cơ sở đó của $V$. Và sự xác định này là duy nhất. Vì vậy ta có thể lập 1 cơ sở của $V^*$ từ cơ sở của $V$.

Cụ thể, $V \rightarrow K$. Giữ cố định cơ sở $\{e_1, \dots, e_n\}$ của $V$. Như vậy, ta có thể xem ánh xạ tuyến tính từ $V$ đến $K$ là ánh xạ tuyến tính từ $K^n$ đến $K$. Và ánh xạ tuyến tính đó được biểu diễn bằng 1 ma trận $n \times 1$ (hay $1 \times n$ tùy vào cách nhìn của bạn). Như vậy $V^*$ chỉ đơn giản là không gian vector của tất cả các ma trận $n \times 1$ với hệ số trong $K$, và vì vậy có $n$ chiều và tương đương với $V$.

Có 1 điểm dễ bỏ qua ở đây là $S$ chỉ đơn giản là tập sinh của $V$ chứ không phải là 1 cơ sở. Nếu $S$ là 1 cơ sở, thì hiển nhiên. 

Vì vậy, để mở rộng từ $f$ lên 1 ánh xạ tuyến tính, bạn cần có điều kiện: mọi cách biểu diễn của 1 phần tử của $V$ bằng các phần tử của $S$ phải "compatible" với ánh xạ $f$.

Thí dụ, nếu bạn chỉ dựng $\varphi: V \rightarrow U$ bằng $\varphi(\sum x_iv_i)= \sum x_i f(v_i)$. Ta thấy, nếu 1 phần tử $\alpha$ của $V$ được biểu diễn bằng 2 cách khác nhau $\alpha=\sum x_i v_i$ và $\alpha= \sum y_i v_i$, thì ta cần phải có $\sum x_i f(v_i)= \sum y_i f(v_i)$ (điều không thể xảy ra nếu $S$ là cơ sở).

Và điều đó hoàn toàn tương đương với điều kiện mà lời giải đã nói đến.

$$\sum x_i f(v_i)= \sum y_i f(v_i) \Leftrightarrow \sum (x_i-y_i)f(v_i) =0 \Leftarrow \sum (x_i-y_i)v_i=0 \Leftrightarrow \sum x_i v_i=\sum y_i v_i$$

(tóm lại, là khi ta định nghĩa $\varphi$, ta định nghĩa dựa trên cách biểu diễn của mọi phần tử của $V$ dựa trên các phần tử của $S$,  $\{x_i\}$, nếu $S$ không phải là cơ sở thì cách biểu diễn $\{x_i\}$ không phải duy nhất, nên để định nghĩa của bạn "có nghĩa" và hợp lệ, thì ta cần mọi biểu diễn $\{x_i\}$ của cùng 1 phần tử, phải cho bạn ảnh như nhau. Và đó là điều kiện đủ mà đề bài cần)

Hàm số từ $A \rightarrow B$ (theo định nghĩa) là tập con X của $A \times B$ bao gồm những cặp số $(a,b)$ sao cho $a \in A, b \in B$ và nếu $(a,b) \in X, (a, b') \in X$ thì $b=b'$ (nói cách khác, với mỗi giá trị trong $A$, chỉ có thể liên hệ với 1 giá trị trong $B$).

Theo định nghĩa của hàm số, rõ ràng $G$ thõa mãn điều kiện trên, nên đó là 1 hàm số từ $R$ đến $R$.

sr,em đọc nhầm thành đẳng cấu, vậy đồng cấu là gì ạ.

nói ra ngại, mình không biết đồng cấu là gì cả vì mình không học theo từng vựng tiếng việt mình thấy bài dùng từ đó nên mình dùng theo.

(đồng cấu theo mình đoán có lẽ là homomorphism - trong trường hợp này là homomorphism giữa 2 không gian vector, nói cách khác đó là ánh xạ tuyến tính. Bạn có thể đã thấy homomorphism - đồng cấu - trong lý thuyết đại số trừu tượng, ánh xạ giữa 2 nhóm giao hoán, hay 2 vành giao hoán thõa mãn 1 vài tính chất đặc biệt. Về 1 mặt nào đó, không gian vector chỉ là 1 nhóm giao hoán có thêm cấu trúc nhân với 1 trường).

nói nhiều thành ra nói dở, đối với bài này, ta chỉ cần chứng minh tồn tại 1 ánh xạ tuyến tính $\bar{f}$ như trên.

tại sao bạn muốn chứng minh đó là đơn ánh? 

$\bar{f}$ của bạn có $\ker$ đâu phải bằng $0$.

để chứng minh tồn tại 1 đồng cấu $\bar{f}$ như vậy, bạn chỉ cần chứng minh với mọi 2 phần tử $v, v'$ sao cho $v - v' \subset V'$, thì ảnh của chúng dưới $f$ (hay $\bar{f}$) giống nhau. tức là ánh xạ của bạn có nghĩa. và sau đó, nó là đồng cấu thì hiển nhiên hơn.

$$0\rightarrow \ker f_2\rightarrow V_2\rightarrow \text{Im}f_2\rightarrow 0$$

 

Ở dòng này thì toán tử tuyến tính từ $\ker f_2$ vào $V_2$ là gì ạ

$\ker f_2 \subset V_2$, toán tử bạn cần chỉ là $x \mapsto x$

Còn vì sao chỉ cần chứng minh trên dãy ngắn. Có lẽ quy nạp sẽ dễ thấy. Nếu bạn có dãy khớp $0 \rightarrow V_1 \rightarrow \dots \rightarrow V_{n-2} \overset{f_{n-2}}{\rightarrow} V_{n-1} \overset{f_{n-1}}{\rightarrow} V_n \rightarrow 0$, bạn có thể tách nó ra thành 2 dãy

$$0 \rightarrow V_1 \rightarrow \dots \rightarrow V_{n-2} \overset{f_{n-2}}{\rightarrow} im f_{n-2} \rightarrow 0$$

và

$$0 \rightarrow \ker f_{n-1} \rightarrow V_{n-1} \rightarrow V_n \rightarrow 0$$

Dùng giả thuyết quy nạp sẽ được kết quả mong muốn.

Vì mọi dãy khớp đều có thể bị bẽ gảy thành dãy khớp ngắn, tương tự như trên.

Sorry bạn leminhansp vì mình nhảy vào giữa chừng

Bài 1 tại sao khó vậy? $\sqrt{3x^2}x^3= \sqrt{3} \sqrt{x^2}x^3= \sqrt{3}x^4$ nếu $x \geq 0$, Tích phân đơn giản mà? Tương tự, $\sqrt[5]{x^2}x^3=x^{2/5}x^3=x^{17/5}$.

Bài 2 tương tự

Bài 3, đặt $u=4+e^x$

Bài 4, 5 đặt $u$ thích hợp

Bài 6 đặt $u$ thích hợp, sau đó tích phân từng phần.

Bài 7 mình không biết

Bài 8 đặt $u$ thích hợp

Bài 9 "partial fraction decomposition"

Bài 10 đặt $u$ thích hợp, thế vào, sau đó "partial fraction decomposition"

Bài 11,  mình không biết.

Giả sử, $g$ là hàm ngược của $f$ và $f$ là hàm ngược của $g$ (mình không biết có cần hay không, nhưng cứ giả sử trước cho an toàn).

$F(x)=f(x+1)$. Ta cần tìm, $G(x)$ sao cho $G(F(x))=x$ và $F(G(x))=x.$ Để xem, $F(G(x))= f(G(x)+1)=x$, sau đó $g(f(G(x)+1))=g(x)$, sau đó $G(x)+1=g(x)$, nên $G(x)=g(x)-1.$ Thử lại xem có đúng không.

$G(F(x))=g(F(x))-1=g(f(x+1))-1=x+1-1=x$. Và $F(G(x))=f(G(x)+1)=f(g(x)-1+1)=f(g(x))=x$. Ta đã chọn đúng.

$F(x)=4f(x).$ Làm tương tự xem, ta cần $F(G(x))=4f(G(x))=x$, sau đó $g(f(G(x))=g(x/4)$, vì vậy $G(x)=g(x/4)$. Thử xem

$G(F(x))=g(F(x)/4)=g(4f(x)/4)=g(f(x))=x$. Và $F(G(x))=4f(G(x))=4f(g(x/4))=4x/4=x$.

$G(x)=g(x-1)$. Ta cần $F(G(x))=x$ và $G(F(x))=g(F(x)-1)=x$, sau đó $f(g(F(x)-1))=f(x)$, nên $F(x)-1=f(x)$. Vì vậy $F(x)=f(x)+1$. Thử lại

$G(F(x))=g(F(x)-1)=g(f(x)+1-1)=g(f(x))=x$. Và $F(G(x))=f(G(x))+1=f(g(x-1))+1=x-1+1=x$.

Tương tự cho phần cuối.

Khi $x \rightarrow \infty$, $\frac{1}{n^2}+ \frac{2}{n^2}+\dots+ \frac{n-1}{n^2}$ tiến về $\frac{1}{n^2}+ \frac{2}{n^2}+\dots+ \frac{n-1}{n^2}$ với mọi $n \in N$.

Khi $n \rightarrow \infty$, 

$$\frac{1}{n^2}+ \frac{2}{n^2}+\dots+ \frac{n-1}{n^2}= \frac{1+\dots+n-1}{n^2}=\frac{(n-1)n}{2n^2}= \frac{n-1}{2n}$$

tiến về $1/2$

2. Chia tử và mẫu cho $3^n$. Mẫu tiến về 1, tử tiến về 3, nên phân số tiến về 3.

bài 1 không phải chỉ cần đơn giản n, sau đó nó tiến về 0 à? 

Vì $f$ đơn ánh,  mà $f(x)=f(t)$ nên $x=t$, mà $t \in E$ nên suy ra $x \in E$ phải không bạn ?

hiển nhiên là vậy. Chiều còn lại dễ hơn và không cần đơn ánh.

Vậy mình xét $x\in f^{-1}(f(E))\Rightarrow f(x)\in f(E)$, tới đây có suy ra $x \in E$ được không ?

$f(x) \in f(E)$ có nghĩa là gì? Ta nhìn vào định nghĩa của $f(E)$, ta có $f(E)= \{f(t): t \in E\}$. Như vậy, $f(x)$ phải là 1 trong những $f(t)$ đó. Như vậy, $f(x)= f(t)$ với 1 phần tử $t \in E$ nào đó. Bây giờ vì $f$ là đơn ánh, bạn kết luận gì được từ $f(x)= f(t)$?