vuminhhoang

1.Cho x,y,z>0 : xyz=1.

Tìm GTLN của $A=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}$

 

2.Cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn $a^{10}+b^{10}=c^{10}+d^{10}$

và $a^{11}+b^{11}=c^{11}+d^{11}$

 

CMR $a^{12}+b^{12}=c^{12}+d^{12}$.

 

Bài 2 này đề bài là số mũ to lắm nhưng mình nghĩ cách làm cũng vậy nên viết là mũ 10 cho dễ nha.

Mong mọi người giúp đỡ.

1. Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=6.

cmr $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leq 216$

 

2. Cho a,b,c > 0 t/m a+b+c=3.

Tìm gtnn $Q=\dfrac{a+1}{1+b^2}+\dfrac{b+1}{1+c^2}+\dfrac{c+1}{1+a^2}$

 

Các thánh giúp mình nha, mình ngu bđt lắm! tks!

$2014^t=t+\sqrt{1+t^2}$

 

$<=> t.ln2014=ln(t+\sqrt{1+t^2})$

 

đạo hàm của cái hàm f(t) = VT-VP là $ln2014-\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}} > 0$ => t=0 là nghiê

nhất duy nhát

Làm hộ t với nha

 

cho a,b,c > 0 : ab+bc+ca=1

 

cmr $a^2+b^2+c^2+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

 

hôm này trường mình thi đề này cx vừa sức. ae vào chém cùng nào.

 

câu 1. giải pt

 

$x^2+2x\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}=3x+1$

 

câu 2. cho 2 số thực dương $x, y  \geq 1$ và 3(x+y)=4xy

 

tìm min, max của $P=x^3+y^3+3(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2})$

 

câu 3. giải hpt

 

$x=3y^3+2y^2$

$y=3z^3+2z^2$

$z=3x^3+2x^2$

 

câu 4. có bao nhiêu stn có 7 chữ số khác nhau thoả mãn 2 đk sau

 

+Có 3 chữ số 3,4,5 đứng liền nhau.

+Có 2 chữ số 7,9 đứng liền nhau

 

câu 5. Cho ▲ABC có trực tâm H. Đường phân giác ngoài của $\widehat{BHC}$ cắt AB, AC tại D và E. Đường p/g trong của $\widehat{BAC}$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE tại K.

 

CMR HK đi qua trung điểm BC.

 

Câu 6. Cho {Un} xác định như sau

 

$U_1 = 3$; $U_{n+1} = \dfrac{U_n^2-2}{2U_n-3}$ với $n \in N^*$

 

xác định công thức tổng quát của $U_n$

 

câu 7. f(x) xác định và liên tục trên R thoả mãn $f(f(x))=3f(x)-2x \forall x \in R$ và f(1)=1

 

tìm tất cả các  hàm như thế

$f'(x) = (\dfrac{5}{2})^x.ln\dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{x^2}.(\dfrac{2}{5})^{\dfrac{1}{x}}.ln\dfrac{2}{5} > 0 $ với mọi x.

 

nên $f(x) = \dfrac{29}{10}$ có không quá 1 nghiệm.

 

bạn nhẩm nghiệm đó là gì rồi kết luận nhé. 

Một bài nữa cho topic thêm sôi động.
Bài 5:
Tìm các hàm số $f:R \to R$ thỏa mãn:

$f({x^3} - {y^3}) = {x^2}f(x) - {y^2}f(y)$

 

 

 

thay y = 0 ta có $f(x^3)=x^2.f(x)$

 

$=> f(x^3-y^3) = f(x^3)-f(y^3)$

 

vì $x \to x^3$ là 1 song ánh nên $=>  f(x-y) = f(x)-f(y)$

 

Ta có $f(x) = f(x+y-y) = f(x+y)-f(y)$

 

$<=> f(x+y)=f(x)+f(y)$

 

Bằng quy nạp ta có $f(nx) = nf(x)$ với n thuộc Z

 

Ta có $f[(x+1)^3+(x-1)^3] = f((x+1)^3)+f((x-1)^3) = (x+1)^2.f(x+1)+(x-1)^2.f(x-1) = (x+1)^2[f(x)+f(1)]+(x-1)^2[f(x)-f(1)]  (1)$

 

Mặt khác $f[(x+1)^3+(x-1)^3]  = f(2x^3+6x) = 2x^2.f(x)+6f(x)     (2)$

 

So sánh giữa (1) và (2) ta có $f(x) = f(1).x$

Đặt $t= cosA+cosB+cosC \leq \dfrac{3}{2}$

 

$f(t) = t + \dfrac{1}{t}$

 

$f'(t)=1-\dfrac{1}{t^2}$

 

$f'(t) = 0 <=> t= \pm 1$

 

lập bảng biến thiên ra ta có $max f(t) = f(3/2) = 13/6$

 

thêm cái chú ý là t > 1 nứa là làm ra đó bạn                

Đặt $t= cosA+cosB+cosC \leq \dfrac{3}{2}$

 

$f(t) = t + \dfrac{1}{t}$

 

$f'(t)=1-\dfrac{1}{t^2}$

 

$f'(t) = 0 <=> t= \pm 1$

 

lập bảng biến thiên ra ta có $max f(t) = f(3/2) = 13/6$

Gọi m là 1 nghiệm ( duy nhất ) của pt bậc 3 : $m^3+20m+1=0$  

Dễ thấy pt $x^4+x-5=0 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{-4m}}{2m}x^2+x+\frac{1+\sqrt{1+20m}}{2m})(\frac{-\sqrt{-4m}}{2m}x^2+x+\frac{1-\sqrt{1+20m}}{2m})=0$

P/s : 2 phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

vậy là phân tích ra ntn.

 

pt : 16x^4+4x+1 nứa

$xy \leq (\dfrac{x+y}{2})^2 = \dfrac{1}{4}$

 

$S=xy+\dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{xy}+16xy-15xy \geq 8-\dfrac{15}{4}$

 

b, S không có giá trị lớn nhất vì $xy \to 0^+$ thì $S \to +\propto$

cho $y=0$ ta có $f(x^2)=xf(x) = -xf(-x) \Rightarrow f(x) = -f(-x) \Rightarrow f$ là hàm lẻ.

 

$\forall x > 0 \Rightarrow f(x^2)=xf(x)=x\sqrt{x}f(\sqrt{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}f(\sqrt[4]{x})=x\sqrt{x}\sqrt[4]{x}...\sqrt[2^n]{x}.f(\sqrt[2^n]{x})$

 

$\Rightarrow  f(x^2)=x^2f(1) \Rightarrow f(x)=xf(1)=ax$ $(2)$ ($a \in R$ tuỳ ý)

 

với $x < 0$ tương tự vậy ta cũng có $(2)$

 

Thử lại ta có $f(x)=ax$ là hàm cần tìm

 

[chỗ latex kia là căn bậc $2^n$ nhé. mình không hiểu sao lại ko hiện tex được]

@mod: Không nên dùng hai dấu $ cùng lúc.

một hộp có 10 viên bi  trong đó có 2xanh. 3 đen . 5 đỏ

 

lấy ngẫu nhiên 7 viên hỏi số cách lấy sao cho có đủ 3 màu.

 

mình nghĩ ntn:

 

lấy mỗi loại 1 viên: 2.3.5

 

lấy 4 viên bất kì trong 7 viên còn lại thì $C_7^4$

 

kq là $2.3.5.C_7^4$

 

nhưng liệu có sai k?

Trong (1)  cho x=0 $=> f(1)=2014$

 

Cho x=y=1 $=> f(2) = f(1)+2012 = 2.2014$

 

Cho $x=2 ; y=1 => f(3)=2f(1)+2012=3.2014$

 

...

 

chứng minh bằng quy nạp ta có $f(xy+1)=2014(xy+1)$

 

(ở đây ta cố định y=1 và $x \in N$)

 

vậy hàm $f(x) = 2014x $ thoả mãn đề bài.

 

chứng minh bđt bên dưới thì dễ rồi!

Bài này khó quá mình ko làm được @@

 

Trong (2) cho a=b=c=d=0 $=> f(0) = 4f^2(0) => f(0) = 0$ hoặc $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

TH1 : $f(0)=0$

 

Trong (2) cho b=c=d=0 $=> f(a^2) = f^2(a)$

 

$=> (2) : f(a^2+b^2+c^2+d^2)=f^2(a)+f^2(b)+f^2(c)+f^2(d) = f(a^2)+f(b^2)+f(c^2)+f(d^2)$

 

$=> f(x)$ cộng tính 

 

$=> f(x) = ax$

 

và $f(x^2)=f^2(x) <=> ax^2 = a^2x^2 => a=0$ hoặc $ a=1$

 

$=> f(x) = 0$ hoặc $f(x) = x$

 

vì f(1)=1 nên kết luận f(x) =x thoả mãn.

 

TH2 : $f(0) = \dfrac{1}{4}$

 

trường này mình chịu @@