chanhquocnghiem

1 ô tô đang chuyển động với vận tốc là 72km/h trên đường nằm ngang thì đột ngột tắt máy, ô tô chuyển động chậm dần đều biết lực ma sát do mặt đườn tác dụng lên ô tô là 200N, khối lượng của ô tô là 1 tấn. Tính gia tốc của ô tô.

Khi tắt máy rồi thì chỉ còn 3 lực tác dụng lên ô tô là trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $\overrightarrow{N}$ của mặt đường và lực ma sát $\overrightarrow{F_{ms}^{}}$.

Hai lực $\overrightarrow{P}$ và $\overrightarrow{N}$ triệt tiêu lẫn nhau nên hợp lực cũng bằng $\overrightarrow{F_{ms}}$

$F_{ms}=-200$ (N), (có dấu trừ vì lực ngược chiều chuyển động); $m=1$ tấn $=1000$ (kg)

Gia tốc của ô tô là $a=\frac{F}{m}=\frac{F_{ms}}{m}=\frac{-200}{1000}=-0,2$ ($m/s^2$)

Một cây kim được coi là một đoạn thẳng có chiều dài $1$ (đơn vị độ dài) được (thả vào cái cốc có đáy là hình tròn =)) ) gieo ngẫu nhiên vào bên trong hình tròn có đường kính $AB=4$ (đơn vị độ dài).

Tìm xác suất của biến cố: $\text{“Cây kim cắt đường kính $AB$”}$

Gọi $CD$ là phương vuông góc với $AB$, $\alpha$ là góc tạo bởi chiếc kim và đường kính $AB$ ($\alpha \in \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ]$)

Gọi $x$ là độ dài của hình chiếu chiếc kim lên phương $CD$ ---> $x=1.sin\alpha =sin\alpha$.

Giá trị trung bình của hình chiếu chiếc kim lên phương $CD$ là $\overline{x}=\overline{sin\alpha }$.

Mà $\overline{sin\alpha }=\frac{\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx}{\frac{\pi }{2}-0}=\frac{1}{\frac{\pi }{2}}=\frac{2}{\pi }$

---> $\overline{x}=\frac{2}{\pi }$.

XS của biến cố chiếc kim cắt đường kính $AB$ là $\frac{\frac{2}{\pi }}{4-\frac{2}{\pi }}=\frac{2}{4\pi -2}\approx 0,1893$

$IA^2=(x_{A}-x_{I})^2+(y_{A}-y_{I})^2=\frac{625}{2}$ ---> $B,C\in (C):(x-\frac{21}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=\frac{625}{2}$ (1)

Vector pháp tuyến của $BC$ là $\overrightarrow{HA}=(28;-4)$ hay $\overrightarrow{n}=(7;-1)$

---> pt của $BC$ có dạng $7x-y+c=0$ hay $y=7x+c$ (2)

Thay (2) vào (1), rút gọn ---> $50x^2+2(7c-21)x+c^2-3c-200=0$ (3)

Vì $B,C$ tồn tại và phân biệt nên (3) có 2 nghiệm phân biệt là :

$x_{1}=\frac{21-7c+\sqrt{10441-144c+c^2}}{50};x_{2}=\frac{21-7c-\sqrt{10441-144c+c^2}}{50}$

---> $y_{1}=\frac{147+c+7\sqrt{10441-144c+c^2}}{50};y_{2}=\frac{147+c-7\sqrt{10441-144c+c^2}}{50}$

Vì $B,C$ có thể đổi chỗ vs nhau nên có thể $B(x_{1};y_{1})$ hoặc $B(x_{2};y_{2})$

Ta chỉ cần xét TH $B(x_{1};y_{1});C(x_{2};y_{2})$

$\overrightarrow{HB}=(\frac{1321-7c+\sqrt{10441-144c-c^2}}{50};\frac{647+c+7\sqrt{10441-144c-c^2}}{50})$

$\overrightarrow{AC}=(\frac{-79-7c-\sqrt{10441-144c-c^2}}{50};\frac{847+c-7\sqrt{10441-144c-c^2}}{50})$

$HB$ _|_ $AC$ ---> $\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$ 

Nhân các toạ độ 2 vector này với nhau rồi cộng lại, rút gọn ---> $8873-144c+c^2-(10441-144c-c^2)=0\Rightarrow c^2=784\Rightarrow c=28$ và $c=-28$

+ $c=28$ : Thay vào toạ độ của B,C ---> $B(-2;14);C(-5;-7)$ và $B(-5;-7);C(-2;14)$

+ $c=-28$ ---> $B(\frac{167}{25};\frac{469}{25});C(2;-14)$ và $B(2;-14);C(\frac{167}{25};\frac{469}{25})$

(TH $c=-28$ loại vì $C\equiv A$ hoặc $B\equiv A$)

Trả lời : $B(-2;14);C(-5;-7)$ hoặc $B(-5;-7);C(-2;14)$

Tìm tất cả các con số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho số sau lớn hơn số liền trước

 

 Quy tắc đếm đó       

Tính xem có bao nhiêu số như thế thì được chứ bảo "tìm tất cả" thì mệt lắm ! 

Dễ thấy rằng các số như thế không thể chứa chữ số $0$ (vì chữ số $0$ không thể đứng đầu)

+ Chọn $5$ chữ số khác nhau từng đôi một trong $9$ chữ số $1;2;3;...;9$ ---> có $C_{9}^{5}=126$ cách.

+ Với mỗi cách chọn, chỉ có $1$ cách sắp xếp nhỏ trước lớn sau.

---> Có tất cả $126.1=126$ số thoả mãn ĐK đề bài.

Các góc trong của lục giác $ABCDEF$ bằng nhau và bằng $\frac{4.180^o}{6}=120^o$

Xét $\Delta FAB$ cân tại $A$.Kẻ phân giác $AM$ ($M\in FB$) ---> $\widehat{BAM}=60^o$ và $AM$ _|_ $BM$.

$\Delta BAM$ vuông tại $M$ và có $\widehat{BAM}=60^o$ nên nó là nửa tam giác đều ---> $AM=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$ ---> $BM=\sqrt{AB^2-AM^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow FB=2BM=\sqrt{3}$

$\widehat{AFB}=\frac{180^o-\widehat{FAB}}{2}=30^o\Rightarrow \widehat{BFE}=\widetilde{AFE}-\widehat{AFB}=90^o$ ---> $\Delta BFE$ vuông tại $F$

---> $FE=\sqrt{BE^2-BF^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-3}=\frac{\sqrt{13}}{2}$

$\widehat{ABF}=\widehat{AFB}=30^o\Rightarrow \widehat{FBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABF}=90^o$ ---> $\Delta FBC$ vuông tại $B$ ---> $BC=\sqrt{CF^2-BF^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$

Gọi $P$ là giao điểm của $BC$ và $ED$ ; FQ là đường phân giác góc $\widehat{AFE}$ ($Q\in BC$)

$\widehat{AFQ}=60^o$ bù với $\widehat{BAF}$ ---> $AB//FQ$ (1)

$\widehat{EFQ}=60^o$ bù với $\widehat{FED}$ ---> $DE//FQ$ (2)

(1),(2) ---> $AB//DE$.Tương tự ta cm được $BC//EF,CD//AF$

$AB//FQ,\widehat{FAB}=\widehat{ABQ}$ ---> $ABQF$ là hình thang cân ---> $BQ=AF=1$

$BC//EF,DE//FQ$ ---> $EFQP$ là hình bình hành ---> $PQ=FE=\frac{\sqrt{13}}{2}$ ---> $PC=PQ+BQ-BC=\frac{\sqrt{13}}{2}+1-\sqrt{6}=\frac{2+\sqrt{13}-2\sqrt{6}}{2}$

$\widehat{PCD}=\widehat{PDC}=60^o$ (vì cùng bù với các góc $120^o$) ---> $\Delta PCD$ đều

---> $CD=PC=\frac{2+\sqrt{13}-2\sqrt{6}}{2}$

$\Delta FBQ$ vuông tại $B$ (vì $\widehat{FBQ}=\widehat{FBC}=90^o$) ---> $FQ=\sqrt{FB^2+BQ^2}=\sqrt{3+1}=2$

---> $DE=PE-PD=FQ-PC=2-(\frac{2+\sqrt{13}-2\sqrt{6}}{2})=\frac{2-\sqrt{13}+2\sqrt{6}}{2}$

Trả lời :

$BC=\sqrt{6}$ (cm)

$CD=\frac{2+\sqrt{13}-2\sqrt{6}}{2}$ (cm)

$DE=\frac{2-\sqrt{13}+2\sqrt{6}}{2}$ (cm)

$EF=\frac{\sqrt{13}}{2}$ (cm)

minh thầy chưa chạt chẽ lắm.

hỏi thêm : Trong 100 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 ta có thể chọn ra 80 số mà có tổng bằng tổng của 20 số tự nhiên còn lại hay không

Không thể vì tổng của $80$ số nhỏ nhất trong 100 số đó là $\frac{(1+80).80}{2}=3240$ (vượt quá một nửa tổng 100 số đó)

Có thể suy luận cách khác như sau :

Giả sử có $20$ số trong các số đó có tổng bằng $80$ số kia, vậy tổng $20$ số đó là $\frac{5050}{2}=2525$

Suy ra trung bình cộng của $20$ số đó là $\frac{2525}{20}=126,25$.

Điều đó rất vô lý vì không có số nào vượt quá $100$.

Chứng minh rằng:

$$2^{2^{2n+1}}\equiv 4 \text{(mod 7)}$$

Ta có :

$2^3\equiv 1(mod7)$ ---> $2^{3k+m}\equiv 1^k.2^m\equiv 2^m(mod7)$ ($k,m\in N$) (1)

Mặt khác $2^2\equiv 1(mod3)$ ---> $2^{2n+1}\equiv 1^n.2\equiv 2(mod3)$ ---> $2^{2n+1}$ có dạng $3k+2$ (2)

(1),(2) ---> $2^{2^{2n+1}}\equiv 2^{3k+2}\equiv 2^2\equiv 4(mod7)$ (đpcm)

Chung minh1/2^2+1/3^2+...+1/100^2 < 0.74?

Đặt vế trái là $A$.Ta có : 

$\frac{1}{2^2}< \frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{(2-1)(2+1)}=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{2}.(1-\frac{1}{3})$

$\frac{1}{3^2}< \frac{1}{3^2-1}=\frac{1}{(3-1)(3+1)}=\frac{1}{2.4}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})$

$\frac{1}{4^2}< \frac{1}{4^2-1}=\frac{1}{(4-1)(4+1)}=\frac{1}{3.5}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$

...............................................................................................................

..............................................................................................................

...............................................................................................................

$\frac{1}{100^2}< \frac{1}{100^2-1}=\frac{1}{(100-1)(100+1)}=\frac{1}{99.101}=\frac{1}{2}.(\frac{1}{99}-\frac{1}{101})$

---> $A< \frac{1}{2}.(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101})= \frac{1}{2}.(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{100}-\frac{1}{101})< \frac{1}{2}.(\frac{3}{2}-\frac{1}{50})= \frac{3}{4}-\frac{1}{100}= 0,74$

Vậy $A< 0,74$

CLB du khảo có n thành viên. Năm ngoái CLB đã tổ chức được 6 chuyến du khảo, mỗi chuyến có 5 thành viên tham dự. Một thành viên CLB nhận xét rằng hai chuyến du khảo bất kỳ có không quá hai thành viên chung. Hỏi CLB đó có ít nhất bao nhiêu thành viên?

 

Đồng Tháp -2013

CLB đó có ít nhất $12$ thành viên.

Ví dụ :

Chuyến đầu tiên : $A,B,C,D,E$

Chuyến thứ $2$ : $A,B,F,G,H$

Chuyến thứ $3$ : $A,C,F,I,J$

Chuyến thứ $4$ : $A,D,G,I,K$

Chuyến thứ $5$ : $A,E,H,J,K$

Chuyến thứ $6$ : $B,C,F,K,L$

Hình lập phương $S$ với độ dài các cạnh là 2 gồm có 8 khối lập phương đơn vị. Ta gọi lập phương $S$ với 1 lập phương đơn vị được bỏ ra là 1 "mảnh". Hình lập phương $T$ với độ dài các cạnh là $2^n$ gồm có $(2^n)^3$ lập phương đơn vị.

 

CMR: nếu 1 lập phương đon vị được bỏ ra từ $T$, thì phần còn lại hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh".

Xét hình lập phương $OMNP.O{}'M{}'N{}'P{}'$ có độ dài các cạnh là $2^k$.Chọn $O$ là gốc tọa độ.Các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $OM,OP,OO{}'$.Hình lập phương đó gồm $(2^k)^3$ hình lập phương đơn vị (viết tắt : hlpđv).Mỗi hlpđv ta ký hiệu là $(x/y/z)$ trong đó $(x;y;z)$ là tọa độ đỉnh xa $O$ nhất của nó ($x,y,z\in N^+$)

Mỗi hình lập phương có độ dài cạnh là $2^k$ ký hiệu là $T_{(k)}^{(a/b/c)}$ trong đó $(a;b;c)$ là tọa độ đỉnh xa $O$ nhất của nó.

$L_{(k;x/y/z)}^{(a/b/c)}$ là phần còn lại của $T_{(k)}^{(a/b/c)}$ sau khi bỏ đi hlpđv $(x/y/z)$.Như vậy mỗi ký hiệu xác định rõ ràng kích thước, hình dạng và tọa độ các đối tượng tương ứng.

Ta cần cm mệnh đề sau đúng với mọi $n\in N^+$ : Mọi khối $L_{(n;x/y/z)}^{(2^n/2^n/2^n)}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^n$) hoàn toàn có thể xây dựng từ các "mảnh" (ta gọi đây là mệnh đề 1).

Ta sẽ cm bằng phương pháp quy nạp.

$1)$ Dễ thấy khi $n=1$ thì mệnh đề 1 đúng vì khi đó mọi khối $L_{(1;x/y/z)}^{(2/2/2)}$ (với $x,y,z\in \left \{ 1;2 \right \}$) đều là 1 "mảnh"

$2)$ Giả sử mệnh đề 1 đúng khi $n=k$.Điều đó có nghĩa là mọi khối $L_{(k;x/y/z)}^{(a/b/c)}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^k$ và $a,b,c\in \left \{ 2^k;2^{k+1} \right \}$) đều có thể xây dựng từ các "mảnh"

Ta cần cm mọi khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ (với $1\leqslant x,y,z\leqslant 2^{k+1}$) đều có thể xây dựng từ các "mảnh"

Xét 2 trường hợp :

$a)$ $x,y,z$ đều thuộc $\left \{ 2^k;2^k+1 \right \}$ (tức là klpđv $(x/y/z)$ là 1 trong 8 klpđv nằm xung quanh tâm của $T_{(k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$)

...Khi đó ta ghép 8 khối : $L_{(k;2^k/2^k/2^k)}^{(2^k/2^k/2^k)}$; $L_{(k;2^k+1/2^k/2^k)}^{(2^{k+1}/2^k/2^k)}$; $L_{(k;2^k/2^k+1/2^k)}^{(2^k/2^{k+1}/2^k)}$; $L_{(k;2^k+1/2^k+1/2^k)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^k)}$; $L_{(k;2^k/2^k/2^k+1)}^{(2^k/2^k/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k+1/2^k/2^k+1)}^{(2^{k+1}/2^k/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k/2^k+1/2^k+1)}^{(2^k/2^{k+1}/2^{k+1})}$; $L_{(k+1;2^k+1/2^k+1/2^k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$

Chú ý rằng 8 khối trên đều có thể xây dựng từ các "mảnh" (vì mệnh đề 1 đúng khi n = k) và có thể ghép với nhau.Sau khi ghép xong, ta sẽ được $T_{(k+1)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ nhưng giữa 8 khối còn 1 khoảng trống, đó chính là $T_{(1)}^{(2^k+1/2^k+1/2^k+1)}$, và $(x/y/z)$ thuộc khoảng trống này.Thể tích khoảng trống là $(2^1)^3=8$ nên ta có thể cho vào đó 1 "mảnh" sao cho khoảng trống còn lại là hlpđv $(x/y/z)$.Như vậy $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ có thể xây dựng từ các "mảnh"

$b)$ Các khả năng còn lại : (tức là $(x/y/z)$ thuộc 1 trong 8 khối kể trên)

Khi đó nếu hlpđv $(x/y/z)$ thuộc khối nào (trong 8 khối kể trên) thì ta thay khối ấy bằng một khối $L$ có cùng chỉ số ở trên, chỉ khác chỉ số ở dưới sẽ là $(k;x/y/z)$ (khối $L$ này cũng được xây dựng từ các "mảnh").Khi đó khoảng trống giữa 8 khối có thể tích bằng $7$ và sẽ được lấp đầy bằng 1 "mảnh".Sau khi ghép 8 khối đó và lấp đầy khoảng trống ở giữa bằng 1 "mảnh", ta được khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$.Như vậy trong trường hợp này, khối $L_{(k+1;x/y/z)}^{(2^{k+1}/2^{k+1}/2^{k+1})}$ cũng được xây dựng từ các "mảnh"

---> mênh đề 1 cũng đúng khi $n=k+1$.

$3)$ Theo nguyên lý quy nạp, mệnh đề 1 đúng với mọi $n\in N^+$.

1 vật có khối lượng là 10kg trượt từ đỉnh xuống chân mặt phẳng nghiêng với vận tốc ban đầu là 2m/s. Biết góc nghiêng anpha = $45^{o}$. Lực ma sát tác dụng lên vật là 5N. Lấy g = 10m/$s^{2}$; chiều dài = 3m

a, Tìm lực do mặt phẳng nghiêng đỡ vật
b, Tìm gia tốc của vật
c, Tìm vận tốc của vật khi tới chân mặt phẳng nghiêng.

$a)$ Vertor trọng lực $\overrightarrow{P}$ có thể phân tích thành 2 thành phần : $\overrightarrow{P_{n}}$ vuông góc với mp nghiêng và $\overrightarrow{P_{t}}$ song song với mp nghiêng.

...Lực do mp nghiêng đỡ vật $\overrightarrow{N}$ cân bằng với $\overrightarrow{P_{n}}$ ---> $N=P_{n}=Pcos\alpha =m.g.cos\alpha =10.10.\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 70,71$ (N)

$b)$ Gia tốc của vật $a=\frac{F}{m}=\frac{P_{t}-F_{ms}}{m}=\frac{m.g.sin\alpha -F_{ms}}{m}\approx \frac{70,71-5}{10}=6,571$ ($m/s^2$)

$c)$ Gọi vận tốc vật khi tới chân mp nghiêng là $v$

...$v^2-v_{0}^2=2a.s\Rightarrow v=\sqrt{v_{0}^2+2a.s}=\sqrt{2^2+2.6,571.3}\approx 6,59$ $(m/s)$

tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 12 ước

$12=3.2.2$

$3$ số nguyên tố nhỏ nhất là $2;3;5$

Vậy số cần tìm là $2^{3-1}.3^{2-1}.5^{2-1}=4.3.5=60$

 Chanhquocnghiem: bạn ơi số 11, số 10 của bạn viết trong latex hả? sao thấy nó đậm hơn

Đúng rồi ! Diễn đàn này khuyến khích sử dụng cách gõ Latex để tiện trình bày các công thức.

CMR trong 11 số nguyên bất kì, bao giờ cũng tìm được 2 số có hiệu  $\vdots$ cho 10  

Gọi các số nguyên đó là $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{11}$.

$r_{1},r_{2},r_{3},...,r_{11}$ lần lượt là các số dư khi chia $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{11}$ cho 10 ($0\leqslant r_{1},r_{2},r_{3},...,r_{11}\leqslant 9$)

$11$ số $r_{1},r_{2},...,r_{11}$ chỉ lấy 1 trong $10$ giá trị $0;1;2;...;9$ ---> có ít nhất $2$ trong $11$ số đó bằng nhau.

Gọi $2$ số đó là $r_{i},r_{j}$ ---> $a_{i},a_{j}$ có cùng số dư khi chia cho 10 ---> $a_{i}-a_{j}$ chia hết cho $10$.

Vậy $a_{i}$ và $a_{j}$ là 2 số cần tìm.

1/ Một lô hàng 19 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên từng sản phẩm đến khi gặp đủ 2 phế phẩm thì dừng lại.Tính xác suất dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3

2/Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất không được kiểm tra chất lượng là 20%.Tính xác suất để trong 10000 sản phẩm sản xuất ra có 2020 đến 2140 sản phẩm không được kiểm tra.

3/Ở 1 vùng cứ 15 người có 2 người hút thuốc lá .Biết tỷ lệ người viêm họng trong số người hút thuốc là 60%,trong số người không hút thuốc là 10%.Khám ngẫu nhiên 1 người.Nếu người này không bị viêm họng thì xác suất người này hút thuốc bằng bao nhiêu.

Em là thành viên mới , có 3 câu hỏi về xác suất.Có anh,hay bác nào giải được thì giúp em nha.Em đang gặp khó khăn với 3 câu hỏi trên.Mong mọi người giúp đỡ.Em xin cám ơn trước

$1)$ Gọi $M$ là biến cố " lấy đúng 3 lần thì dừng lại ".$M$ chỉ xảy ra khi trong 2 lần đầu lấy đc 1 phế phẩm, lần lll đc phế phẩm.

...---> $P(M)=\frac{C_{17}^{1}.C_{2}^{1}}{C_{19}^{2}}.\frac{1}{17}=\frac{2}{171}$

$2)$ Gọi $X$ là số sp không đc kiểm tra chất lượng trong 10000 sp.

...$P(2020\leqslant X\leqslant 2140)\approx \Phi (\frac{2140-10000.0,2}{\sqrt{10000.0,2.0,8}})-\Phi (\frac{2020-10000.0,2}{\sqrt{10000.0,2.0,8}})=\Phi (3,5)-\Phi (0,5)=...$ (tra bảng thay vào)

$3)$ Tỷ lệ người hút thuốc là $\frac{2}{15}$

...Gọi $M$ là bc người đó không bị viêm họng ; $N$ là bc người đó hút thuốc.XS cần tìm là $P(N/M)$.

...$P(N/M)=\frac{P(N).P(M/N)}{P(N).P(M/N)+P(\overline{N}).P(M/\overline{N})}=\frac{\frac{2}{15}.\frac{40}{100}}{\frac{2}{15}.\frac{40}{100}+\frac{13}{15}.\frac{90}{100}}=\frac{8}{125}$