TrongDuong

$M=\sum \frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\sum bc(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2}$

ĐK: $x>0,x\neq 1$

Quy đồng rút gọn 

$x^{2}-1=4\sqrt{x}$

Đặt $y=\sqrt{x}>0$

$y^{4}-4y-1=0 \Leftrightarrow (y^2-\sqrt{2}y-\sqrt{2}+1)(y^2+\sqrt{2}y+\sqrt{2}+1)=0 \Leftrightarrow (y^2-\sqrt{2}y-\sqrt{2}+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=\frac{1+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}\\ y=\frac{1-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}}\\ \end{bmatrix}$

 

Nghiệm thứ hai loại

Từ đó suy ra x

Do p,q,r nguyên tố $\Rightarrow r\geq 3$

Như thế thì $p^{q}$ và $q^{p}$ ko cùng tính chẵn lẻ

giả sử q chẵn => q=2

$p^{2}+2^{p}=r$

Xét p=2 (ko thỏa)

      p=3 (thỏa)

=> p > 3

Do p lẻ

$p^{2}\equiv 1(mod 3)$

$2\equiv -1(mod3) \Rightarrow 2^{p}\equiv -1(mod3)$

 

=> $p^{2}+2^{p}\equiv 0(mod3)$

Vậy r chia hết cho 3 (mâu thuẫn)

 

Vậy (p;q;r)=(2;3;17);(3;2;17)

$pt\Leftrightarrow x^{4}+2ax^{2}+a^{2}=2ax^{2}+x+a^{2}+42$

Chọn a sao cho VP là mọt số chính phương, tức là delta = 0

$\Delta =1-4.2a(a^2+42)=-8a^3-336a+1=0$

Dùng Cardano giải ra

$a=\frac{1}{2}(\sqrt[3]{\frac{1}{2}(1+\sqrt{702465}})-56\sqrt[3]{\frac{2}{1+\sqrt{702465}}})$

...

Quy về hai ptb2, ...

$pt\Leftrightarrow (2x-1)[(2x+1)(4x^2-5)-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}]=0$

Nghiệm $x=\frac{1}{2}$

 

Cần cm $(2x+1)(4x^2-5)-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}<0$

 

Do cái $-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}<0$

nên chỉ cần xét TH 

$(2x+1)(4x^2-5)\geq 0$

Lập bảng xét dấu $\Rightarrow -\frac{\sqrt{5}}{2}\leq x\leq -\frac{1}{2}$

Khi đó

$16-8\sqrt{5}\geqslant -\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}\geq 4-4\sqrt{5}$

tức là 

$(-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1})_{max}=16-8\sqrt{5}$

 

Mặt khác: $((2x+1)(4x^2-5))_{max}=\frac{40}{27}$

 

Cộng hai cái đó lại, max của phần trong ngoặc âm => phần trong ngoặc luôn âm

Luôn có $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

$\Rightarrow a\pm b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a\mp b}$

 

Rồi áp dụng vô bài:

$a=\sqrt{16-2x+x^{2}}$

$b=\sqrt{9-2x+x^{2}}$

 

Thì như trên: $a+b=\frac{a^{2}-b^{2}}{a-b}$

 

$\Rightarrow \sqrt{16-2x+x^{2}}+\sqrt{9-2x+x^{2}}=\frac{16-2x+x^{2}-9+2x-x^{2}}{\sqrt{16-2x+x^{2}}-\sqrt{9-2x+x^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{16-2x+x^{2}}-\sqrt{9-2x+x^{2}}}$

 

Tới đó thì bạn cộng pt đầu với pt mới thì chỉ còn một căn thôi chắc giải dễ rồi

Áp dụng cái hđt: a+b = (a²-b²)/(a-b) đấy bạn

câu a thì như mấy bạn đã nói là Cauchy 2 lần thôi

b) Áp dụng bđt

$a^{3}+b^{3}\geq \frac{\left ( a+b \right )^{3}}{4}$

$pt\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^{2}-1} +x^{2}-2\right )\left ( 13x^{2}-7\sqrt{x^{2}-1}+14 \right )=0$

xem thử nha

Mấy bài dạng này mà chỉ có một nghiệm hữu tỉ thì tốt nhất là cứ liên hợp đi Nếu có 2 nghiêm thì phân tích nhân tử ( mà cũng hơi khó khăn ) 

Bài này ra nghiệm khá xấu nên mình cũng ko có cách nào đẹp, chỉ nêu ý kiến thôi =))

$pt\Leftrightarrow x^{2}+\frac{7x}{4}-1=x^{2}-4x\sqrt{x}+6x-4\sqrt{x}+1$

$\Leftrightarrow 4x\sqrt{x}-6x+\frac{23x}{4}-2=0$

Đặt $t=\sqrt{x}$

Dùng Cardano giải tiếp

Nghiệm $x=\frac{1}{48}\left ( -10-\frac{335}{\sqrt[3]{19349+318\sqrt{4074}}}+\sqrt[3]{19349+318\sqrt{4074}} \right )$

Bạn xem thử lời giải này nhé (sưu tầm)

https://scontent-a-s...862863036_n.jpg

Em tìm min như thế này được không anh:

$A=3\sqrt{25-x^{2}}+3\sqrt{x^{2}}+16\sqrt{x}-3x$

Áp dụng bđt $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geqslant \sqrt{a+b}$ với đẳng thức xảy ra khi $a=0$ hoặc $b=0$

$A\geq 3\sqrt{x^{2}+25-x^{2}}-3x+16\sqrt{x}=15-3x+16\sqrt{x}$

Tiếp theo ta chứng minh $\forall x\in [0;5]$ thì $-3x+16\sqrt{x}\geqslant 0$

Giải bpt $-3x+16\sqrt{x}\geqslant 0$ thì có $0\leqslant x\leqslant \frac{256}{9}$ nên điều chứng minh là đúng

$A\geq 15+0=15$

Vậy $A_{min}=15 \Leftrightarrow x=0$

Ta có: $\left ( x+\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( x+1 \right )^{2}=\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}+2\left ( x+\sqrt{2} \right )\left ( x+1 \right )= \left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}+2t$

$\Rightarrow \left ( x+\sqrt{2} \right )^{4}+\left ( x+1 \right )^{4}=\left [ \left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}+2t \right ]^{2}-2t^{2}= 2t^{2}+4t\left (\sqrt{2}-1 \right )^{2}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{4}$

Giải pt ẩn t: 

$2t^{2}+4t\left (\sqrt{2}-1 \right )^{2}+\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{4}=\left ( 1+\sqrt{2} \right )^{4}+2^{4}$

$\Leftrightarrow 2t^{2}+4t\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}-8\left ( 3\sqrt{2}+2 \right )=0$

$\Leftrightarrow t=2+2\sqrt{2}$ hay $t=-8+2\sqrt{2}$

Với $t=2+2\sqrt{2}$ : $x=1$ hay $x=-2-\sqrt{2}$

Với $t=-8+2\sqrt{2}$ : pt vô nghiệm =))