longatk08

BĐT sau mạnh hơn:

$$\frac{1}{1+a^2(b+c)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+c^2(a+b)}\leq \frac{3}{1+2abc}$$

BĐT tương tự với $a+b+c=3$, $a,b,c$ không âm:

$$\frac{a}{1+(b+c)^2}+\frac{b}{1+(a+c)^2}+\frac{c}{1+(a+b)^2}\leq \frac{60}{1+99abc}$$

BĐT tương tự sau, tuy không quá chặt nhưng coi như món "quà" dành cho chủ thớt:

Cho $a,b,c$ thực dương và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$$a^3b+b^3c+c^3a +6abc \leq 9$$

Tại vì em chứng minh nó dài dòng lắm ạ, ai chứng minh gọn em phục ạ

Nói thật thì bài này còn yếu hơn cả BĐT Schur mà ta vẫn hay dùng và cũng chả đáng để dùng thêm bất cứ 1 công cụ nào khác ở đây ngoài Schur và AM-GM

Sau khi đồng bậc 2 vế và rút gọn thì ta có BĐT tương đương:

$4(a^3+b^3+c^3)+6abc \geq 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ac(a+c)$

Nhân tiện đây thì bạn nên đọc kĩ nội quy trc khi post bài. Thanks.

Cho $x,y,z$ thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=1$. Chứng minh rằng:

$$\frac{x^2+1}{x^2+2yz+1}+\frac{y^2+1}{y^2+2xz+1}+\frac{z^2+1}{z^2+2xy+1}\geq 2$$

ta có $\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}\leq \frac{x^2}{x^2+xy}+\frac{y^2}{y^2+yz}=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}$  (svax)

mấy cái tê tương tự rồi cộng lại

Các phân thức sau ta vẫn thu được đại lượng này hay nói cách khác cách làm này sai.

Cho $x,y,z$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2+xy+yz}+\frac{(y+z)^2}{y^2+z^2+yz+zx}+\frac{(z+x)^2}{z^2+x^2+xy+xz}\leq 3$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{2(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3}\geq 6$$

$\int \frac{1}{(1+\sqrt{2x+1})^2}dx$

Đổi biến số rồi vi phân. Đặt $\sqrt{2x+1}=t$

Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $x+y+z=xyz$ và $x>1, y>1, z>1$. Tìm GTNN của 

$P=\frac{x-1}{y^2}+\frac{y-1}{z^2}+\frac{z-1}{x^2}$

Sau khi đổi biến thì ta sẽ đi chứng minh rằng với $a,b,c$ thực dương thỏa $ab+bc+ac=1$ thì ta có:

$$P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-a^2-b^2-c^2\geq \sqrt{3}-1$$

Hãy chứng minh BĐT sau:

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geq\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ac}$$

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR

$5(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq (a+b+c)^{3}+18abc$

Dùng phép thế Ravi rồi khai triển ra.

Vậy bạn thử chứng minh chiều ngược lại xem sao $2(\sum a+\sum \frac{1}{a})\leq \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+9abc$

Dựa vào điều kiện $abc=1$ đổi biến đi là ra BĐT Schur bậc 3

Cho $a,b,c$ không âm và không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh:

$$\sum \frac{1}{4a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{2\sum a^2}+\frac{1}{\sum ab}$$

$(Vasc)$                                          

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{4a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{4b^2+a^2+c^2}+\frac{1}{4c^2+a^2+b^2}\leq \frac{1}{2}$$

Bạn gợi ý mình đc ko?

BĐT này có thể viết lại dễ nhìn hơn là:

$$2(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+1) \geq (a+b)(b+c)(c+a)$$

 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

 

Theo bài của bạn ở đây thì tôi hiểu là bạn đang định chứng minh:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3}{\sqrt{2}}$

Nhưng BĐT trên không đúng, mà BĐT sau mới đúng:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq 2$