longatk08

Bài 43:  Do bận định đăng bài làm trong nháp hôm trước nhưng giờ mời đăng được, mọi người tham khảo:

 

Làm mạnh bđt Cô si:

 

$\frac{a^{4}}{b^{2}}+2ab\geq 3a^{2}+\frac{3}{2}(a-b)^{2}$

 

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}\frac{2a^{2}+4ab-3b^{2}}{2b^{2}}\geq 0$

 

Đến đây không phải luôn đúng nên đành chuyển hướng sang S.O.S:

 

tt:  $\frac{b^{4}}{c^{2}}+2bc\geq 3b^{2}+\frac{3}{2}(b-c)^{2}\Leftrightarrow (b-c)^{2}\frac{2b^{2}+4bc-3c^{2}}{2c^{2}}\geq 0$

 

     $\frac{c^{4}}{a^{2}}+2ca\geq 3c^{2}+\frac{3}{2}(c-a)^{2}\Leftrightarrow (c-a)^{2}\frac{2c^{2}+4ac-3a^{2}}{2a^{2}}\geq 0$

 

Cộng vế theo vế ta được:

 

$\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+5(ab+bc+ac)\geq 6(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow S_{a}(a-b)^{2}+S_{b}(b-c)^{2}+S_{c}(c-a)^{2}\geq 0$

 

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow S_{b}> 0$

 

nên chỉ cần CM:   $S_{b}+S_{a};S_{b}+S_{c}\geq 0$ nhưng điều này hiển nhiên đúng.  (Tự nháp)

 

$\Rightarrow ĐPCM$

 

p/s: Ai biết latex bị gì không không dùng được phải dung online

Lời giải này lỗi ở đâu, các bạn thảo luận cho ý kiến tại đây. Các bạn chú ý $S_{a},S_{b},S_{c}$ ở đây là những biểu thức hoàn toàn hoán vị nên về nguyên tác thì ta phải xét 2 trường hợp. Điều này các bạn xem lời giải có thể thấy rõ nên ở đoạn cuối cùng anh Cẩn có xét cả bộ hoán vị của $a,b,c$ để lời giải thêm chặt chẽ.

Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:

$$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$$

Bài 43:Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh ta có BĐT sau:

$$\frac{a^4}{b^2}+\frac{b^4}{c^2}+\frac{c^4}{a^2}+5(ab+bc+ac)\geq 6(a^2+b^2+c^2)$$

 

 

2) Cho $a,b,c>0$ và $a^6+b^6+c^6=3$. Cmr:

$$\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge 3$$

(Võ Quốc Bá Cẩn)

 

Tương tự ta cũng có

Cho $a,b,c$ thực dương.Chứng minh BĐT sau:

$$\frac{a^5}{b}+\frac{b^5}{c}+\frac{c^5}{a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a^6+b^6+c^6)^2}{9}}$$ (Nguyễn Thúc Vũ Hoàng)

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}+\frac{1}{2}$$

Spoiler

Bài toán này khá đẹp nên các bạn cố gắng dùng những công cụ sơ cấp nhất, nhẹ nhàng nhất nhé...Đừng cố lôi dao mổ trâu để giết gà!  

Em có thể dùng bổ đề sau:

-Với $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Ta luôn có:

$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}+\frac{b}{(c+a)^2}\geq \frac{4(a^3+b^3+c^3)+15abc}{4(ab+bc+ac)^2}$$

Ngoài lề 1 tí: Tình cờ thì BĐT trong bài Mathlinks Contest 2005 có chút "gì đó" liên quan đến bài sau

$$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2+\frac{4(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(c+a)^2(b+c)^2}$$

 

$\leftrightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc \leq 4 $

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

$$a^2b+b^2c+c^2a+\frac{abc(3-ab-bc-ac)}{2} \leq 4$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac \neq 0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a^2}{(b+c)^2}+\frac{b^2}{(c+a)^2}+\frac{c^2}{(a+b)^2}\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+bc+ac)}+21\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2} $$

Biến đổi tương đương, bất đẳng thức trở thành :
$(a-b)^2\frac{a^2+b^2+ab+bc+ca}{(a+c)(b+c)(a+b+c)^2}+...\geq 0$ (luôn đúng)

Có chắc rằng BĐT này đúng với mọi $x,y,z$ thuộc R

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:

$\sqrt{\frac{a+2b}{a+2c}}+\sqrt{\frac{b+2c}{b+2a}}+\sqrt{\frac{c+2a}{c+2b}}\ge 3$ 

Áp dụng AM_GM: $\sqrt{(a+2c)(a+2b)}\leq a+b+c$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{\sqrt{3a^2+bc}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+ac}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+ab}}\geq \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3(ab+bc+ac)}} $$

Bài toán của anh P.K.Hùng:

$$\frac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+ac}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ab}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{ab+bc+ac}}$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa $ab+bc+ac>0$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a^3}{a+b}+\frac{b^3}{b+c}+\frac{c^3}{c+a}\leq (1+\frac{\sqrt[3]{4}}{3}).(\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c})$$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$.Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{ab+3}+\frac{b}{bc+3}+\frac{c}{ca+3}\leq \frac{3}{4}$$

Với $a,b,c \geq 0$, $ab+bc+ac=1$.Ta có các kết quả tương tự sau:

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq 2+\frac{1}{a+b+c}$$

$$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{3}{a+b+c}\geq 4$$

$$ \frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{b^2+c^2}+\frac{1}{c^2+a^2}\geq \frac{5}{2}$$

 

Cho a+b+c $\geq$ 0 , ab+bc+ca=1. Chứng minh rằng:

   \[{\left( {\frac{{{a^2}}}{{a + c}} + \frac{{{b^2}}}{{a + b}} + \frac{{{c^2}}}{{c + b}}} \right)^2} + \frac{{4abc({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)}}{{(a + b)(b + c)(c + a)}} \ge \frac{9}{4}\]

 

Lấy $a+b+c=1$ và đặt $ab+bc+ac=q,r=abc$ thì ta cần chứng minh:

$$\frac{(q-q^2-2r)^2}{(q-r)^2}+\frac{4r}{q-r}\geq \frac{9q}{4}$$

Khai triển thì $f(r)$ là hàm lồi theo $r$ nên có cực đại.

BĐT tương đương: $9qr^2-34q^2r+17q^3-4q^4-4q^2 \leq 0$

Nếu $q \leq \frac{1}{4}$ thì $r \geq 0$. Nếu $\frac{1}{3} \geq q \geq \frac{1}{4}$ thì $r \geq \frac{4q-1}{9}$ và $f(\frac{4q-1}{9})=\frac{q(1-3q)^2(1-4q)}{9}\leq 0$

Xét $r \leq \frac{q^2}{3}$ thì $f(\frac{q^2}{3})=\frac{q^2(3q-1)(q^2-15q+12)}{3}\leq 0$