Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f:\;\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn
$$\forall_{\left ( x, y \right )\in\mathbb{R}^{2}}\;f\left ( 2f\left ( xy \right )+ xf\left ( y \right )+ f\left ( x \right ) \right )= 3yf\left ( x \right )+ x$$
Ý tưởng bài này theo anh dựa trên tính đối xứng.
Bằng cách đưa $x= 1, y= f\left ( 1 \right )$ và $y= 1, x= f\left ( 1 \right )$ vào giả thiết, nhận thấy $f\left ( 1 \right )= 1$ đồng thời
$$f\left ( 3y+ 1 \right )= 3f\left ( y \right )+ 1\quad{\it And}\quad f\left ( 3f\left ( x \right )+ x \right )= 3f\left ( x \right )+ x$$
Cho nên $f\left ( x \right )= x$ là lời giải duy nhất của bài toán.
- Hoang72 yêu thích