Đến nội dung


Mr handsome ugly

Đăng ký: 18-03-2021
Online Đăng nhập: Hôm nay, 18:19
*****

#726673 chứng minh rằng với n là hợp số và n lớn hơn 4 thì $(n-1)!$ chi...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 08-05-2021 - 18:18

Xét $n$ có 2 ước nguyên tố trở lên; ta phân tích $n$ thành dãy thừa số nguyên tố $p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}...p_{y}^{a_{y}}$ với $y$ là số ước nguyên tố của n và $p_{1};p_{2};...;p_{y}$ là các ước nguyên tố của $n$ đôi một khác nhau. Ta dễ dàng thấy $p_{i}^{a_{i}}$ với $i$ nguyên dương bất kì và $i\leq y$ mà $p_{i}^{a_{i}}\neq p_{j}^{a_{j}}$ với i khác $j$và $j$ nguyên dương $(j<i)$ nên tập hợp các số ${p_{1}^{a_{1}};p_{2}^{a_{2}};...;p_{y}^{a_{y}}}$ là một tập hập con của tập hợp ${1;2;...;n-1}$. Từ đây suy ra ĐPCM.

 Xét $n$ có một ước nguyên tố $p$ thì $n$ có dạng $p^{k}$ với $k$ là số nguyên dương lớn hơn 1. Tương tự như trên ta cũng có $p^{k-1}<n$ và $p<n$ mà $p$ và $p^{k-1}$ khác nhau nên suy ra ĐPCM.




#726651 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 08-05-2021 - 11:37

bài 128 là một bài khá lạ và nó thuộc về cấp 3 nên mình xin đưa ra một gợi ý như sau: Sử dụng tính chất nếu $a$ nguyên tố cùng nhau với $n$ thì $n-a$ cũng nguyên tố cùng nhau với $n$ .

 

Những bài còn lại vẫn thuộc về mảng kiến thức của THCS nên mình xin phép không đưa ra gợi ý nhưng xin được nói về nguồn của các bài đó: bài 129 là câu số học trong đề thi toán vòng 2 của trường chuyên PBC còn bài 133 là một bài thuộc mục toán THCS của tạp chí PI ( mình không nhớ rõ là số mấy); bài 132 là một bài cũ trong TOPIC ôn số học chuyên năm học 2019-2020.




#726572 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 07-05-2021 - 11:33

Những bài tiếp theo cho TOPIC đây các bạn! 

 

Bài 127: Cho $M=a^{2}+3a+1$ với $a$ nguyên dương 

a) Chứng minh rằng mọi ước số của $M$ đều lẻ

b) Tìm $a$ sao cho M chia hết cho 5. Với giá trị nào thì $M$ là lũy thừa của 5 

 

Bài 128: Cho $n$ là số nguyên dương lớn hơn 5 . Chứng minh rằng số các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với $n$ và không vượt quá $n$ luôn là số chẵn ( tính luôn cả số 1) .

 

Bài 129: Tìm các số nguyên $x;y$ sao cho $xy+2\mid x^{2}-2$

 

Bài 130: Cho $a;b$ là các số nguyên dương thỏa $ab\mid a^{2}+b^{2}$  . Tìm tất cả giá trị có thể có của $\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}$

*Nếu được hãy giải cho trường hợp $a;b$ nguyên 

 

Bài 131: Số nguyên dương $n$ được gọi là điều hòa nếu tổng các bình phương của các ước nguyên dương của nó ( kể cả $1$ và $n$ ) đúng bằng $(n+3)^{2}$

a) Chứng minh rằng 287 là số điều hòa 

b) Chứng minh rằng số $n=p^{3}$ với $p$ là số nguyên tố lẻ không phải là số điều hòa

c) Chứng minh rằng nếu $n=pq$ với $p;q$ là 2 số nguyên tố là số điều hòa thì $n+2$ là số chính phương 

 

Bài 132: Tìm các số $x;y$ nguyên dương sao cho $(y-1)!+1=y^{x}$

 

Bài 133: Tìm số $n$ nguyên dương lớn hơn 1 bé nhất sao cho với mọi số thực $x\geq 2$ ; nếu $[x^{2}];[x^{3}];...; [x^{n}]$ là số chính phương thì $[x]$ cũng là số chính phương biết kí hiệu $[x]$ là số nguyên lớn nhất sao cho $[x]<x$.




#726456 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-05-2021 - 18:48

Góp cho các bạn một bài hay nhưng dễ: 

 

Bài 125: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số 2019 thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

*Nếu được hãy giải quyết luôn trường hợp tổng quát: Hỏi có bao nhiêu cách phân tích số nguyên dương $n$ thành tổng của các số tự nhiên liên tiếp.

 

P/S: Vì dạo này mình khá bận nên không đăng bài nhiều cho các bạn được; mong thời gian tới các bạn tự quản lí TOPIC mình sẽ cố gắng hết sức đăng bài khi rảnh !




#726104 CM: $\exists x;y\in \mathbb{Z}:x^{2}...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 28-04-2021 - 18:14

Cho p là một số nguyên tố lẻ và a là một số nguyên dương không chia hết cho p. Chứng minh rằng với mỗi số $a$ bất kì cố định thì luôn tồn tại 2 số tự nhiên $x$ và $y$ sao cho $x^{2}+y^{2}\equiv a(modp)$    




#725811 Tim Min của $a^{x}-b^{y}$ khi biết $a...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 23-04-2021 - 19:45

Cho a;b;x;y nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn 3 và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$

 

Một bài tổng quát hơn: Cho $a;b;x;y;n$ nguyên dương sao cho $a\neq b\neq x\neq y$ và cả 4 số trên đều lớn hơn n ( biết n>2) và $a^{x}>b^{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^{x}-b^{y}$ với mỗi giá trị cố định cho trước bất kì của n 

 

P/S: Đây là bài toán em tự thắc mắc nên đăng lên để hỏi mọi người chứ không lấy từ nguồn nào cả ạ!




#725735 Học gì ở Toán phổ thông

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 21-04-2021 - 15:51

Dạ em có 2 ý kiến như sau:

1. Liệu các anh có thể viết thêm về lý thuyết trường vành cho học sinh cấp 3 được không ạ; em thấy cấp 3 chuyên cũng có nói sơ qua nhưng em muốn được tìm hiểu sâu hơn về phần này; đặc biệt là các ứng dụng trong số học hay; đại số hay các các mảng toán khác.

 

2. Hiện nay em thấy nhiều bài toán số học olympic đều có đề rất dài; được cho nhiều dữ kiện ; thay vì đó sao chúng ta không ra những bài toán số học với một đề bài ngắn gọn; súc tích hơn vì vẻ đẹp của số học sơ cấp theo em biết vốn được tạo nên bởi sự đơn giản của nó ( định lý fermat lớn chẳng hạn ạ  :D ); em nghĩ như vậy mới thu hút được học sinh làm số học.

P/S: Mong các anh cho ý kiến ạ :lol: 




#725721 Các bổ đề và mẹo giải toán số học

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 21-04-2021 - 11:59

Chào các bạn; TOPIC này được lập ra với mục đích tổng hợp các bổ đề; định lý hay "mẹo vặt"  thông dụng; phổ biến hoặc hữu ích; cụ thể hơn là nhưng kinh nghiệm trong việc giải toán olympic số học để giúp mọi người tiếp cận với số học olympic dễ dàng hơn; mình không mong TOPIC sẻ sôi đông nhưng mong nó sẽ có hữu ích cho mọi người cũng như thế hệ sau của VMF. Sau đây là nội quy TOPIC:

 

1. KHÔNG SPAM; LÀM LOÃNG TOPIC 

 

2,KHÔNG GIẢI VÀ ĐĂNG CÁC BÀI TOÁN VÀO ĐÂY

 

3.TRÌNH BÀY KHOA HỌC; SÚC TÍCH NẾU ĐƯỢC SAU MỖI BÀI VIẾT HÃY THÊM MỘT VÀI VÍ DỤ GIÚP NGƯỜI ĐỌC DỄ HIỂU.

 

4.NẾU ĐĂNG BÀI THÌ HÃY GHI TÊN ĐỊNH LÝ HAY "MẸO VẶT" THÀNH TIÊU ĐỀ BÀI VIẾT VÀ IN ĐẬM.

 

Sau đây là màn "chào sân" của mình :)) :

 

   Cách giải quyết các bài toán dạng $n\mid a^{n}-1$

Trong các kì thi olympic toán thì các bài toán liên quan đến dạng $n\mid a^{n}-1$ rất phổ biến; điển hình là bài số học trong kì thi TST 2020 hay bài số học trong kì thi chọn đội tuyển KHTN Hà Nội 2020-2021 (các bạn có thể search google để biết thêm). Ta có một một bổ đề rất thông dụng cho loại bài này như sau: 

Cho n nguyên dương $(n\geq 2)$ thỏa $n\mid a^{n}-1$ thì a-1 chia hết cho số nguyên tố nhỏ nhất của n.

Sau đây là một vài hệ quả của bổ đề trên:

1.Không tồn tại n nguyên dương lớn hơn 2 để $n\mid 2^{n}-1$

2. Cho p là một số nguyên tố và thỏa $p\mid a^{p}-1$ thì a-1 chia hết cho p 

 

Ví dụ cho sự hiệu quả của bổ đề trên bạn đọc có thể tìm tới bài số học trong IMO 1994; bài số trong TST 2020 hay các bài toán LTE; bổ đề trên sẽ là một công cụ rất mạnh nếu kết hợp cùng với định lý LTE trong các bài toán LTE.

 

P/S: Bài viết này mình viết khá sơ sài nhưng sẽ bổ sung cho nó thêm hay hơn trong một ngày không xa :)) ( thật ra mình bận)

 

LƯU Ý: Cần có kiến thức nền cơ bản về cấp của số và LTE nếu muốn đọc phần này :)) 

 




#725445 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 15-04-2021 - 19:13

$ta có  p+q=x^{2}

p+4q=y^{2}

=>(y-x)(y+x)=3q

ta có

q=2

=>p+2=x^2, p+6=y^2

=>4=(y-x)(y+x) q=3

=>(y-x)(y+x)=9 q>3

=>((y-x),(y+x))=d

=>2y\vdots d 3q\vdots d

=>d=1

=>y-x=3,y+x=q

=>p=x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

=>x=4

=>p=5

=> ta tìm được q$

 

 

 

 

 

 $\frac{n^2-1}{m^2-n^2+1} \euro Z<=> \frac{n^2-1}{m^2-n^2+1}+1 \euro Z<=> m^{2}=k(n^{2}-1)$

            +) $n=1=>m^2-n^2+1=m^2$ (đfcm)

              +) $n\neq 1=>n^{2}-1$ chẵn => m chẵn (sai với giả thiết)

 

 

                      $pt<=>2q=(p^{2}-2pq+q^{2}-1)(p-q)$ 

            Dễ c/m p>q 

 +)  $q=2=>...$

 +)   Với (2,q)=1 => .... => p=5,q=3

Mong các bạn chỉnh sửa lại lỗi latex cho bài viết được hoàn chỉnh riêng bài giải bài 91 nên được gõ rõ ràng ra cho dễ hiểu (tránh làm tắc nhé em  :lol: ) 

Sau đây là một vài bài mới của TOPIC: 

 

Bài 105: Tìm 2 số nguyên tố p;q sao cho $p^{2}-q+2q^{2}$ và $2p^{2}+pq+q^{2}$ nguyên tố cùng nhau

 

Bài 106: Chứng minh rằng $5^{3n+2}+2^{2n+3}$ chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n 

 

Bài 107:Cho số tự nhiên n và số p nguyên tố sao cho p-1 chia hết cho n và $n^{3}-1$ chia hết cho p. Chứng minh rằng n+p là số chính phương.

 

Bài 108: a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương x!+y!=(x+y)!

              b) Giải nghiệm nguyên dương $x!+y!+z!=u!$




#725290 Học gì ở Toán phổ thông

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 12-04-2021 - 13:05

Em xin được nêu ý kiến của em sau đây:

Về câu hỏi làm sao để thu hút học sinh làm toán và khoa học thì em nghĩ tốt nhất vẫn là những bài viết về lịch sử toán học hoặc các bài giảng đại chúng của toán học; bản thân em đến với toán học là nhờ cuốn "định lý cuối cùng của fermat" do TS Lê Quang Ánh viết. 

 

Còn việc làm toán olympic bản thân em đôi khi cũng rất ghét các bài thi HSG; nhiều bài trong số đó khá là mưu mẹo điển hình là dãy số hay bước nhảy vi-et trong số học. Em thắc mắc tại sao tại lại không cho các em học sinh những bài toán lý thuyết cổ điển trong toán học như việc học cuốn "lý thuyết sơ cấp của các số" của Sierpinski




#725184 Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho...

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 10-04-2021 - 11:18

Cho f(x) là hàm liên tục trong khoảng [a;b] và $a\leq f(x)\leq b\forall x\in [a;b]$. Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho $f(x_{0})=x_{o}$




#724988 Đề thi thử vào 10 chuyên ĐHSP vòng 2 chuyên Tin

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 05-04-2021 - 20:30

Câu 2: $2)$ (Cách 1) $(q+p)^p = (q-p)^{2q-1}$ (1)

Dễ dàng thấy được a8b1b4a0b8eb1df6ee52c2d040401d9dda8e78df từ phương trình (1).
Gọi $d=GCD(p;2q-1)$. Vì $d|p$ và $p$ là số nguyên tố, ta có $d=1$ hoặc $d=p$.
Ta chia 2 trường hợp
Trường hợp 1: $d=1$. Do đó tồn tại 2 số nguyên dương $u$ và $v$ sao cho.
8bd1bcb4272ee265dc282574631345a5f2e9e04f.
Do đó từ phương trình (2)
229b007a2305fb33da70c21a3489d5532a5a5f3f,
hay nói cách khác là $4^{q-1}<q$, điều này là không thể vì $q \geq 3$. Điều mâu thuẫn này dẫn đến phương trình (1) vô nghiệm.
Trường hợp 2: $d=p$. Do đó tồn tại một số nguyên dương b55ca7a0aa88ab7d58f4fc035317fdac39b17861 sao cho: $2q-1=(2r+1)p$. Vì vậy từ phương trình (1) ta có
00947d9ffcd55a33947532d60fb6b82253f21f74.
Hơn nữa ta lại có:
7cfa97c8866036fa0d8c5a8000e27f197ef8a8d5 và 33ceb97d67e93625547269435716cc67c07c52e2,
thay vào phương trình (3) ta sẽ có:
2c54b6280f7f7bf36fd46812b9fc37cfa466d2aa.
Đặt 1930619a38fceee8e02990ea79026a348193307e. Từ phương trình (4) ta có:
779da2079ae75c45dd86f501c9a9fcb3e0723ea1, vì vậy ta lại có thêm được
ad4f885748ec45b63d5b0de137f3a04e73ae81c6,
Suy ra $p|3$, hay $p=3$, là một nghiệm của phương trình (5). Do đó e6efbf777ea833aa8c52bba62346d6c31e123e7a, suy ra $q=5$.
Nên $(p,q)=(3;5)$ là nghiệm của phương trình (1).
Giả sử $r \geq 2$. Từ phương trình (4) suy ra
1a2a76f357593009cad0d06dfd2684e29212ed70,
điều đó cho ta được 
c12f145c8994dedfca44b36dd0fdf1490553359c.
Vì vậy phương trình trên vô nghiệm với $r \geq 2$.
Vậy $(p,q)=(3;5)$.

Mình nghĩ không cần dài vậy đâu 

Xét p khác q; để ý ta thấy (p-q; p+q)=2 mà theo đề bài thì p+q và p-q phải có cùng tập ước nguyên tố nên... (đoạn này mình xin gợi ý thế thôi :)

Xét q=p ; cái này thì dễ rồi ...




#724927 [TOPIC] ÔN THI SỐ HỌC VÀO THPT CHUYÊN NĂM 2020-2021

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-04-2021 - 18:03

Sau đây là một vài bài mới cho TOPIC: 

 

Bài 92: Cho n+1 số nguyên dương $a_{1};a_{2};...;a_{n+1}$ sao cho $1\leq a_{i}\leq 2n$ với i=1;2;...;n+1 và các số nguyên dương này đều có dạng $2^{k}r_{i}$ trong đó k nguyên dương và cố định đối với mọi $a_{i}$ còn $r_{i}$ là số lẻ bất kì. Chứng minh rằng tồn tại hai số $i;j$ nguyên dương sao cho $a_{i}=a_{j}$ với $n+1\geq j>i\geq 1$

 

Bài 94: Tìm a;b nguyên dương và a;b nguyên tố cùng nhau sao cho $(a+b)^{a}=(a-b)^{2b-1}$

 

Bài 95: Tìm x nguyên dương sao cho $x^{m}+x^{n}+1$ là số nguyên tố biết $3\mid mn-1$ và $m\neq n$ ; m,n nguyên dương

 

P/S: Xin lỗi các bạn mình có gõ thiếu đề bài 92 ở đoạn cuối; chân thành xin lỗi các bạn :(

 

*Mình cũng xin tư vấn cho các bạn một vài tài liệu số học tốt mà mình biết: 4 chương đầu và chương cuối của chuyên đề số học VMF (cần biết đọc một cách chọn lọc sao cho phù hợp thi chuyên) và  đoạn đầu chương 1 của cuốn "lý thuyết số sơ cấp" của W. SIERPINSKI https://lovetoan.wor...cap-cua-cac-so/ . Về lý thuyết; bạn đọc cuốn của  W. SIERPINSK còn về bài tập các bạn có thể lấy trong chuyên đề số học VMF ; dĩ nhiên đó không phải tất cả nhưng rất phù hợp cho những bạn không giỏi về số học mà muốn lấy trọn điểm phần này :)




#724926 $\sqrt{2}$ là số vô tỉ

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 04-04-2021 - 17:50

Liệu ta có thể chứng minh được rằng không thể chứng minh $\sqrt{2}$ là số vô tỷ nếu không dùng phản chứng :)




#724857 $VMO2019$

Gửi bởi Mr handsome ugly trong 03-04-2021 - 11:03

Bài 1a): Ta có thể thấy được khi biểu diễn f(x) lên mặt phẳng Oxy thì f(x) luôn nằm trên trục hoành và vì f(x) liên tục cũng như $\lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=0$ nên ta có thể tưởng tượng f(x) như cái parabol úp ngược có đầu nhú lên còn hai đầu kia thì kéo dài tới $+\infty$ và $-\infty$ ( cái này chỉ tưởng tượng thôi chứ không nhất thiết f(x) có hình dạng như thế) như vậy f(x) luôn tồn tại GTLN ( sai sót gì mn sửa giúp mình nha  :lol: )

 

Ý tưởng cho câu 1b): Mình nghĩ nên chọn hai dãy sao cho 2 dãy này tiếp cận nhau và hội tụ tại GTLN của f(x)

 

P/S: hưởng ứng phong trào giải quyết hết tất cả bài toán trên diễn đàn của bạn pcovietnam02  :D