Nobodyv3

Nhận xét: Số có 4 cso tm đề bài không thể có số 0 
Nếu $a<b<c<d$ thì có $C^4 _9$ cách
Nếu có 2 chữ số giống nhau, 2 chữ số khác: $2.C^3 _9$
Nếu có 3 chữ số giống nhau, 1 chữ số khác: $C^2_9$
Tổng các chữ số thỏa mãn là: $C^4_9+2.C^3_9+C^2_9$
~~~~~~~~~~
Em không biết làm đúng không, mong nhận sự góp ý!

Mình nghĩ là bạn đã làm đúng.
$$\displaystyle C^4_9+2.C^3_9+C^2_9=C^4_9+C^3_9+C^3_9+C^2_9=C^4_{10}+C^3_{10}=C^4_{11}$$
Cách khác :
$$1\leq a \leq b \leq c<d\leq 9 \Leftrightarrow 1\leq a < b +1< c+2<d+2\leq 11$$ Nên số các số thỏa đề bài là $C^4_{11}.$

Dix-sept ans après...
======
Để thay đổi không khí, mình xin dùng hàm sinh. Xét đa thức :
$f(x)=(yx+x^2+x^3+x^4+x^5 +x^6 )^3$ trong đó $y$ là biến đếm số mặt 1 chấm và bậc của $x$ là tổng số chấm
trên 3 mặt của 3 hột xí ngầu. Suy ra :
$[x^8]f(x)=3(y^2+4y+2)$
Điều này có nghĩa là khi tổng số chấm trên 3 hột xí ngầu là 8 thì sẽ có :
- $3$ trường hợp xuất hiện hai mặt 1 chấm,
- $12$ trường hợp xuất hiện một mặt 1 chấm, và
- $6$ trường hợp không xuất hiện mặt 1 chấm nào cả.
Do đó XS cần tính là :
$$\frac {3+12}{3+12+6}=\frac {15}{21}= \boldsymbol {\frac {5}{7}}$$

Từ tam giác đều có cạnh là n-1, ta kẻ thêm 1 đường thẳng song song cạnh đáy và giao 2 cạnh kia tạo thành tam giác đều có cạnh là n. Gọi $a_n$ là số tam giác cần tính, thì nó là tổng $a_{n-1}$ và số các tam giác có cạnh hoặc đỉnh nằm trên cạnh đáy của tam giác lớn.
-  Số tam giác mới, hướng $\bigtriangleup $ có cạnh đáy từ 1 đến n là $[n+(n-1)+...+2+1]$.
- Số tam giác mới, hướng $\bigtriangledown $ có đỉnh nằm trên đáy lớn là $ \underbrace{ \left [ 1+2+3+...+3+2+1 \right ] }_{n-1\text{ số hạng}} $:
$\bullet $ Nếu n lẻ: thì n-1 chẵn và bằng $ 2\sum_{k=1}^{(n-1)/2}k=\frac {n^2-1}{4}$
$\bullet $ Nếu n chẵn: thì n-1 lẻ, là số hạng giữa chuỗi và bằng $ \frac {n}{2}+\sum_{k=1}^{(n-2)/2}k=\frac {n^2}{4} $.
Gộp lại ta có :$\left ( n^2-\frac{1-(-1)^n}{2} \right )/4$
Vậy :
$$\begin{align*}
a_n&=a_{n-1}+[n+(n-1)+...+2+1]  +\left [ 1+2+3+...+3+2+1 \right ]\\
&=a_{n-1}+\frac {n(n+1)}{2}+\frac {n^2-(1-(-1)^n)/2}{4}\\
&=a_{n-1}+\frac {3}{4}n^2+\frac {1}{2}n-\frac{1}{4}\left ( \frac {1-(-1)^n}{2} \right )\\
&=a_0+\frac {3}{4}\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac {1}{2}\sum_{k=1}^{n}k-\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac {1-(-1)^k}{2} \right )\\
&=\frac {3}{4}\left ( \frac {n(n+1)(2n+1)}{6} \right )+\frac {1}{2}\left ( \frac {n(n+1)}{2} \right )-\frac {1}{4}\left ( \frac {n+(1-(-1)^n)/2)}{2} \right )\\
&=\boldsymbol {\frac {4n^3+10n^2+4n-1+(-1)^n}{16}}
\end{align*}$$

Xin đừng trôi...
Giải cách nào cũng được, không nhất thiết phải đếm bằng cách lập hệ thức truy hồi.

Hoặc là :
Ta có hàm sinh xác suất :
$$f(x)=\left (\frac {1}{6}(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)\right) ^3$$Suy ra XS cần tìm là :
$[x^{10}]f(x)=\frac {1}{8}$

Tìm quy luật của dãy số 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4,... và tìm 2 phần tử tiếp theo

Mình nghĩ dãy đã cho là kết quả trả về của hàm ước số $\sigma_0(n)$ ( là hàm trả về số ước số nguyên dương phân biệt của n). Do đó 2 số tiếp theo là :
$\sigma_0(9)=\boldsymbol {3}$ và $\sigma_0(10)=\boldsymbol {4}.$

[Bonus] Tìm 2 chữ số tận cùng của tổng :
$$ \displaystyle S = 1^{2002} + 2^{2002} + 3^{2002} + ... + 2023^{2002} $$

2/ Bắt đầu từ $g(x)=\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...$ thì
$\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+...$
nên $ \frac{x}{(1-x)^2} $ là hàm sinh của dãy $0,1,2,3,...$
Lập lại bước này:
$x\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\left [ x \left (\frac{\mathrm{d} g(x)}{\mathrm{d} x} \right )\right ]=\frac {x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+...$
Vậy $\frac {x(1+x)}{(1-x)^3}$ là hàm sinh của dãy $0^2,1^2,3^2,...$
Biết $ \frac {x(1+x)}{(1-x)^3}\cdot \frac {1}{1-x}=\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ là hàm sinh của dãy $0^2,0^2+1^2,0^2+1^2+2^2,0^2+1^2+2^2+3^2,...$
Do đó hệ số của $x^n$ trong $\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ là $\sum_{k=1}^{n}k^2$. Nhưng hệ số của $x^n$ trong $\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}$ cũng được tính là :
$$\begin {align*}
\frac {x(1+x)}{(1-x)^4}&=(x+x^2)(1-x)^{-4}\\
&=(x+x^2)\left (\sum_{n\geq 0} \binom {n+3}{n}x^n\right )\\
&=\binom {n-1+3}{n-1}+\binom {n-2+3}{n-2}\\
&=\frac {(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac {(n+1)!}{3!(n-2)!}\\
&=\frac {1}{6}\left [ (n+2)(n+1)n+(n+1)n(n-1)\right] \\
&=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{align*}$$
Do đó :
$$S=\boldsymbol {\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$$
================
Các bạn có thể xem thêm:
- tính $S=1^3+2^3+...+n^3$ tại
https://diendantoanh...-s-13-23-33-n3/
- tính $S=1^4+2^4+...+n^4$ tại
https://diendantoanh...ng-các-tứ-thừa/
- Hoặc tổng quát hơn tính $S=1^n+2^n+...+n^n$ , tại
https://diendantoanh...ác-bình-phương/

Đề bài  Có 20 hoc sinh được chia thành 10 tổ, mỗi tổ 2 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia .
---------
Tâm sự đêm khuya cùng Kiến sida =))

Nếu các tổ phân biệt (thí dụ các tổ được đánh số 1,2,....,10 ) thì số cách chia là $\binom{20}{2}\binom{18}{2}...\binom{2}{2} $ nhưng theo đề bài được hiểu các tổ là không phân biệt nên số cách chia tổ thỏa yêu cầu là $\frac {\binom{20}{2}\binom{18}{2}...\binom{2}{2}}{10!}.$

2/ Gọi $A_i$ là biến cố đội thứ $i$ có 1 cặp vợ chồng. Ta có :
$P(A_i)=\frac {\binom {12}{1}\binom {22}{1}}{\binom {24}{3}}$
- Với $i<j: P(A_iA_j)= \frac {\binom {12}{2}\binom {20}{2}}{\binom {24}{3}\binom {21}{3}} $
- Với $i<j<k: P(A_iA_jA_k)= \frac {\binom {12}{3}\binom {18}{3}}{\binom {24}{3}\binom {21}{3}\binom {18}{3}} $
....vv.......
Theo nguyên lý bù trừ, ta có :
$P(A_1\cup ...\cup A_8)=0,6553$
Suy ra XS cần tính là :
$1-0,6553= 0,3447$.

1/ Em nghĩ như vầy :
Gọi $A_i$ là biến cố chàng trai thứ $i$ chọn được đối tác thành cặp. Ta thấy chàng trai này có $ n$ cách chọn đối tác, còn đối tác chỉ có $1$ cách chọn ; mỗi chàng trong $n-1$ chàng còn lại có $n$ cách chọn đối tác và tương tự cho $n-1$ nàng còn lại. Như vậy ta có :
$$P(A_i)=\frac {n n^{2n-2}}{n^{2n}}=\frac {n}{n^2}$$ Với $i\neq j $ , lập luận tương tự ta có :
$$P(A_iA_j)=\frac {n(n-1) n^{2n-4}}{n^{2n}}=\frac {n(n-1)}{n^4}$$ Tiếp tục như vậy ta được :
$$P(A_1\cup ...\cup A_n)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom {n}{k}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Suy ra XS cần tính là :
$$1-P(A_1\cup ...\cup A_n)= 1-\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\binom {n}{k}\frac {n(n-1)...(n-k+1)}{n^{2k}}$$
Edited.
@chanhquocnghiem Cám ơn anh.

Sao có kết quả đó vậy ?

Trước hết, xin anh thông cảm, máy em đang ỏng ẹo!
Nghĩ sao em xin trình bày như vậy, có gì sai sót, nhầm lẫn xin anh chỉ bảo.
Em nghĩ đây là bài toán XS hình học.
Ta đặt : AC=x, AD=y thì theo đề bài ta có :
y>=2+x. Trên mp Oxy ta thấy các điểm M(x,y) thỏa mãn sẽ nằm trong tam giác vuông 98x98 từ đó em có kết quả trên (vẽ hình ra dễ thấy hơn nhưng em không thể! Xin anh thứ lỗi cho).

Sorry, ăn vạ rùi...bị trục trặc...
Em nghĩ dại XS là 98x98/(100x100)=0,9604

Cách lập luận khác :
1/
b) Vì XS ra lầu 10 là 1/2 nên XS ra ở các lầu khác là $\frac {1-1/2}{9}=\frac {1}{18} $ do đó XS cần tính là :
$\begin {align*}
C_{6}^{1}P_{9}^{5}\frac {1}{2}\left(\frac {1}{18}\right)^5+P_{9}^{6}\left(\frac {1}{18}\right)^6&=\frac {35}{1458}+\frac {35}{19683}\\
&=\frac {1015}{39366} \approx 0,0258
\end{align*}$
2/ Đánh số các quả bóng 1,2,...,11. Gọi $A_i$ là biến cố bóng xanh đầu tiên được lấy ra ở lần lấy thứ $i.$
XS để B là người đầu tiên lấy được bóng xanh là $\sum_{k=1}^{4}P(A_{2k})$. Tập $A_i$ có $C_ {7}^{i-1}(i-1)!C_ {4}^{1}\left (7-(i-1)+3\right) !$ kết quả. Do đó XS cần tìm là :
$$P(A_i)=\frac {C_{7}^{i-1}(i-1)!C_ {4}^{1}\left (7-(i-1)+3\right) ! }{11!}$$ với $i=2,4,6,8$
Cụ thể  XS là $\frac {13}{33}.$

Em xin đề nghị kết quả có thể viết là :
$$ a_{n,k}=\begin {cases}
C_{\frac {n+k-2}{2}}^{k-1}&& \text{nếu $n-k$ chẵn, }\\
0 && \text{ngược lại. }
\end {cases}$$