Le Tuan Canhh

Cm: $kC_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$

Áp dụng vào bài có: $VT=nC_{n-1}^{0}+nC_{1}^{n-1}+...+nC_{n-1}^{n-1}=n2^{n-1}$

$P=\frac{1}{(1+\frac{y}{x})^{2}}+\frac{1}{(1+\frac{z}{y})^{2}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Đặt $a=\frac{y}{x};b=\frac{z}{y};c=\frac{x}{z}$ $\rightarrow abc=1$ và $a;b;c>0$

Giả sử $c\leq b\leq a\rightarrow 1=abc\geq c \Rightarrow 1\geq c \Rightarrow ab\geq 1$

Lúc này $P=\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Ta có:$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{2}{1+\sqrt{ab}})^{2}$    ( với $ab\geq 1$ )

BĐT phụ Chứng Minh chắc đơn giản òi

Suy ra $P\geq \frac{2}{(1+\frac{1}{\sqrt{c}})^{2}}+\frac{1}{1+c}$

Đặt $x=\sqrt{c}$  ( với $x\geq 1$)

Xét hàm $f(x)=\frac{2}{(1+\frac{1}{x})^{2}}+\frac{1}{1+x}=\frac{2x^{2}}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{1+x}$ 

$\rightarrow f'(x)=\frac{2x(x-1)(2x^{3}+x^{2}+2x-1)}{(x+1)^{3}(1+x^{2})^{2}}$

PT bậc 3 ở f'(x) có nghiệm hơi xấu; với f'(x) =0 có 3 nghiệm là 0 ; 1; 0,376....

Xét sự biến thiên của hàm số thì hàm đồng biến trên (0;0,376...) và nghịch biến trên ( 0,376...;1)

Nên $P\geq minf(x)=f(1)=1$

Dấu "=" xảy ra khi $ x=y=z$

GHPT:$\left\{\begin{matrix} 2x^2+x+\sqrt{x+2}=2y^2+y+\sqrt{2y+1} & \\ x^2+2y^2-2x+y-2=0 & \end{matrix}\right.$

PT (2) $\Leftrightarrow (x+y)(3x^{3}-y^{3})=1$ 

Mà $1=(x^{2}+y^{2})^{2}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$ ; thế vô trên có:

$3x^{4}+3x^{3}y-xy^{3}-y^{4}=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+2y)[2x^{2}+xy+y^{2}]=0$

Xét 2 TH $x-y=0 $ và $x+2y=0$

ơ nhưng mà đề bảo chứng minh bất đẳng thức $\leq$ mà sao lại chứng minh được <

Theo mình thấy thì bài sẽ đẹp hơn khi cho a,b,c không âm, nghĩa là sẽ xảy ra dấu "=" cho bất đẳng thức ( Hoặc có thể là mình làm sai    )

Bất đẳng thức luôn $\leq$ là đúng nhưng đúng hơn sẽ là $<$ vì dấu "=" không xảy ra, ko có giá trị bộ (a,b,c) nào dương mà thỏa mãn$ \left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )= \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Để viết rõ hơn, thì dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{3y}{2}=3z\Leftrightarrow a+b=\frac{3(b+c)}{2}=3(c+a)$$\Leftrightarrow b=2a-3c=c+2a \Rightarrow c=0$ ( vô lí) 

 geogebra-export (8).png   19.43K   2 Số lần tải

Dựng tam giác đều EBC. Cm 2 tam giác ADC và BEA bằng nhau ( g.c.g) 

$\widehat{DAC}=\widehat{EBA}=20;\widehat{BAE}=\widehat{ACD}=10;AC=BA$

Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $y+z=x(y^2+z^2)$. Tìm min $P=\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{2}}+\frac{1}{(z+1)^2}+\frac{4}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

Đặt: $x=a+b;y=b+c;z=c+a$

BĐT trở thành: $x^{3}y^{2}z\leq \frac{4}{27}(\frac{x+y+z}{2})^{6}=\frac{1}{3^{3}.2^{4}}(x+y+z)^{6}$ (*)

Có: $x.x.x.\frac{3y}{2}\frac{3y}{2}3z\leq \frac{(x+x+x+\frac{3y}{2}+\frac{3y}{2}+3z)}{6^{6}}=\frac{(x+y+z)^{6}}{2^{6}}$

Từ đó suy ra (*) luôn đúng 

Dấu"=" xảy ra khi $2a=b $ và $c=0$ (vô lí, do a,b,c>0)

Nên $\left ( a+b \right )^{3}\left ( b+c \right )^{2}\left ( c+a \right )< \frac{4}{27}\left ( a+b+c \right )^{6}$

Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=|x^2-2020x+2019|+mx$ đạt giá trị lớn nhất 

Đặt $AM=x;NC=y;AB=a$

Có: $S_{DPQR}+S_{AMD}+S_{ABN}+S_{MBC}+S_{DCN}=S_{ABCD}+S_{AMP}+S_{BMQN}+S_{RNC}=S_{ABCD}+S_{xanh la}$

$\Leftrightarrow 1+\frac{1}{2}xa+\frac{1}{2}(a-y)a+\frac{1}{2}(a-x)a+\frac{1}{2}ya=a^{2}+S_{xanh la}$

$\Leftrightarrow S_{xanh la}=1$

P/s: Tách các phần diện tích sẽ CM đc: S xanh lá = S xanh dương

Giải pt 

c, $\left(x+7\right)\left(x^2-9x+1-\sqrt[3]{20x^2+102x-121}\right)+63x+1=0$

PT $\Leftrightarrow x^{3}-2x^{2}+x+8-(x+7)\sqrt[3]{20x^{2}+102x-121}=0$

$\Leftrightarrow x^{3}-4x^{2}-12x+15+(2x^{2}+13x-7)-(x+7)\sqrt[3]{20x^{2}+102x-121}=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}-4x^{2}-12x+15)+(x+7)[2x-1-\sqrt[3]{20x^{2}+102x-121}]=0$

$\Leftrightarrow (x^{3}-4x^{2}-12x+15)+(x+7)\frac{8(x^{3}-4x^{2}-12x+15)}{(2x-1)^{2}+(2x-1)\sqrt[3]{20x^2+102x-121}+(\sqrt[3]{20x^2+102x-121})^2}$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^{2}-3x-15)(1+\frac{8(x+7)}{(2x-1)^{2}+(2x-1)\sqrt[3]{20x^2+102x-121}+(\sqrt[3]{20x^2+102x-121})^2})=0$

Dễ dàng CM : $1+\frac{8(x+7)}{(2x-1)^{2}+(2x-1)\sqrt[3]{20x^2+102x-121}+(\sqrt[3]{20x^2+102x-121})^2}>0$  ( Quy đồng tách bình phương)

Vậy nghiệm là $1;\frac{3+\sqrt{69}}{2};\frac{3-\sqrt{69}}{2}$

Giải pt 

d, $\left(2-\frac{4}{x}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=\frac{9x^2-14x+25}{3x+3+4\sqrt{2x-1}}$

Lời giải đã có tại đây: https://diendantoanh...sqrtx-1-12x-4x/

Giải pt 

a, $\left(x+1\right)\left(2\sqrt{x^2+3}-x^2\right)+\sqrt[3]{3x^2+5}=5x+3$

PT $\Leftrightarrow (x+1)(2\sqrt{x^{2}+3}-x^{2})-3(x+1)+\sqrt[3]{3x^{2}+5}-2x=0$

     $\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{x^{2}+3} (\sqrt{x^{2}+3}-2)+(2x-\sqrt[3]{3x^{2}+5})=0$

     $\Leftrightarrow (x+1)\sqrt{x^{2}+3}.\frac{x^{2}-1}{\sqrt{x^{2}+3}+2}+\frac{8x^{3}-3x^{2}-5}{MS}=0$

     $\Leftrightarrow (x-1)[\sqrt{x^{2}+3}.\frac{(x+1)^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}+2}+\frac{8x^{2}+5x+5}{MS}]=0  $

     $\Leftrightarrow x=1$

1) Có bao nhiêu cách xếp 4 người lên 3 toa tàu biết mỗi toa có thể chứa 4 người 

Bài này có 2 hướng 1 là người chọn toa 2 là toa chọn người

Hướng 1: người chọn toa

Có 4 người mà mỗi người có 4 cách chọn toa nên có $3^{4}=81$ (cách)

Hướng 2: toa chọn người 

TH1: Cả 4 người cùng lên 1 toa : có 3 cách

TH2: Sắp xếp sao cho 1 toa có 3 người , 1 toa có 1 người, toa còn lại ko có người, có: $C_{4}^{3}.C_{3}^{1}C_{1}^{1}C_{2}^{1}=24$ ( cách)

TH3: Sắp xếp sao cho 1 toa có có 2 người , 2 toa còn lại mỗi toa 1 người, có: $C_{4}^{2}.C_{3}^{1}.2!=36$ ( cách)

TH4: Sắp xếp sao cho 2 toa mỗi toa 2 người, toa còn lại ko có người, có: $C_{4}^{2}.C_{3}^{1}.C_{2}^{2}C_{2}^{1}=36$ ( cách)

Tổng cộng có: 3+24+36+36=99 ( cách)

Kết quả 2 hướng khác nhau, bạn tìm xem điều vô lí ở đâu ? 

Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất của biểu thức A = $\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ Biết x>1

Vì đã biết trước min tại $x=3+2\sqrt{2}$ tức$\sqrt{x}=\sqrt{2}+1$ là nên tách khá dễ dàng 

$A=\frac{x-2(\sqrt{2}+1)\sqrt{x}+3+2\sqrt{2}+(2\sqrt{2}+3)\sqrt{x}-3-2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-1}=\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2}-1)^{2}}{\sqrt{x}-1}+2\sqrt{2}+3\geq 2\sqrt{2}+3$