Le Tuan Canhh

Để tích xác xuất có ít nhất 1 người bắn trúng mục tiêu ít nhất 5 viên ta đi tính biến cố đối là xác xuất mỗi người bắn trúng mục tiêu nhiều nhất 4 viên

Ta cho xác xuất 6 lần người 1 không bắn trúng và 4 lần còn lại tùy ý là $(0,6)^{6}$

tương tự  xác xuất 6 lần người 2 không bắn trúng và 4 lần còn lại tùy ý là $(0,65)^{6}$

$p(\overline{A} )=(0,6)^{6}.(0,65)^{6}$

$\rightarrow p(A)=1-p(\overline{A})=1-(0,6)^{6}.(0,65)^{6}$

cont'
Sau khi xem lại em nghĩ như thế này ( lấy bài anh làm mẫu nhé) :
Như vậy, $ C_{16}^{4} C_{12}^{4} C_{8}^{4} C_{4}^{4}  $ là số cách xếp 16 đội vào 4 bảng phân biệt, có gắn nhãn là A,B,C,D.

Vậy $C_{13}^{3} C_{10}^{3} C_{7}^{3} C_{4}^{4}  $ là số cách xếp 13 đội vào 4 bảng phân biệt, có gắn nhãn là A,B,C,D.
Do đó, tính $A_{4}^{3}$ theo em là ta đã overcounting mà thay vào đó ta chỉ cần tính số cách xếp 3 đội VN, TL, ML vào 3 bảng ( mỗi bảng có 3 đội ) cụ thể là có $3!$ cách.
Xin anh cho ý kiến ạ.

Em cũng ra đáp án giống anh perfectstrong, nhưng mà cách giải thích của anh Nobodyv3 em thấy khá rõ ý và chưa thấy vô lí ở đâu cả 

Mình nghĩ là nên đặt$a=\sqrt{x+y};b=\sqrt{y+z};c=\sqrt{z+x}$, sẽ dễ đánh giá hơn

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn $6xyz=x^2+2y^2+3z^2$.

1) CM :$\frac{1}{y}+ \frac{2}{x}\leq 3$

2) Tìm max $P=10x+6y+2z+\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{2}{z}$

Vòng chung kết 1 giải bóng đá có 16 đội tham dự trong đó có 3 đội Việt Nam,Thái Lan, Malaysia được ban tổ chức chia ngẫu nhiên làm 4 bảng A,B,C,D. Tính xác xuất để 3 đội Việt Nam,Thái Lan, Malaysia ở 3 bảng khác nhau

Bài của Pray for The First

$P=\frac{(a^{2}+1)(b+c)+a^{2}+(b+c)^{2}+4}{a+b+c}\geq \frac{2a(b+c)+a^{2}+(b+c)^{2}+4}{a+b+c}=\frac{(a+b+c)^{2}+4}{a+b+c}\geq 4$

Dấu "=" xảy ra khi $a=1;b+c=1$

CM tam giác AOB vuông tại O

Gọi M là trung điểm AB cố định

CM O luôn thuộc đường tròn tâm M đường kính AB cố định

Mình chưa xem kỹ, bạn có thể :
- Giải thích rõ hơn mục +) thứ nhất. 
- Để theo dòng suy nghĩ của bạn, bạn có thể giải thích chi tiết hơn tdụ : mục +) thứ tư: TH2 ở chấm thứ hai (không có bộ ba số 0): $\frac{4.6!}{3!}$ được lập như thế nào?.

+) Dấu cộng thứ nhất là tìm số phần tử n(w), Em dùng xếp hoán vị lặp, cứ xếp 15 chữ số vào và chia cho (3!)⁵ là chia đi các số bị lặp là 3 số 0; 3 số 1; 3 số 2; 3 số 3 và 3 số 4

 Rồi trừ đi cho TH số 0 đứng đầu

+) Dấu cộng thứ 4 , Ta có 4 bộ 3 liên tiếp là (111) (222) (333) (444) và 3 số 0 , coi mỗi bộ 3 là 1 số để xếp thì 

Chọn chữ số đầu có 4 cách 

Xếp 6 chữ số còn lại có 6! 

Chia cho 3! là 3 số 0 bị lặp 

Và cuối cùng trừ đi A1 là trừ đi TH có 5 bộ 3 liên tiếp xuất hiện 

P/s: Đáp án có đúng k anh , 99% là sai rồi 

Cách làm hơi mất công tí 

+) Từ các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 15 chữ số mà trong số đó mỗi chữ số đều có mặt đúng 3 lần là:$n(\omega )=\frac{15!}{(3!)^{5}}-\frac{14!}{(3!)^{4}2!}=134534400$

+) Gọi A là số các số có 15 chữ số mà trong số đó mỗi chữ số đều có mặt đúng 3 lần và có ít nhất 1 chữ số chiếm 3 vị trí liên tiếp

Ta chia các TH của A

+) TH1: có 5 bộ 3 liên tiếp (000);(111);(222);(333);(444) , có: $A_{1}=4.4!=96$ ( số)

+) TH2: có đúng 4 bộ 3 liên tiếp . Ở đây ta phải xét 2 TH nhỏ là 4 bộ đó có và không có bộ 3 số 0

• Có bộ 3 số 0 : $4.(\frac{6.6!}{3!}-A_{1})$
• Ko có 3 bộ 3 số 0: $\frac{4.6!}{3!}-A_{1}$

         $\rightarrow A_{2}=2880$

+) TH3: có đúng 3 bộ 3 liên tiếp

• Có bộ 3 số 0 : $6(\frac{8.8!}{(3!)^{2}}-A_{2}-A_{1})$
• Ko có 3 bộ 3 số 0:$4.(\frac{6.8!}{(3!)^{2}}-A_{2}-A_{1})$

         $\rightarrow A_{3}=50880$ 

+)TH4: có đúng 2 bộ 3 liên tiếp

• Có bộ 3 số 0 : $4.(\frac{10.10!}{3!3!3!}-A_{3}-A_{2}-A_{1})$
• Ko có bộ 3 số 0:$6.(\frac{8.10!}{3!3!3!}-A_{3}-A_{2}-A_{1})$

        $\rightarrow A_{4}=939840$

+)TH5: Có đúng 1 bộ 3 liên tiếp

• Đó là bộ 3 số 0: $\frac{12.12!}{(3!)^{4}}-A_{4}-A_{3}-A_{2}-A_{1}$
• Đó là 1 trong 4 bộ 3 còn lại: $4(\frac{10.12!}{(3!)^{4}}-A_{4}-A_{3}-A_{2}-A_{1})$

       $\rightarrow A_{5}=14250720$

Như vậy, $A=A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}=15244416$

Tóm lại, lập được là: $n(\omega )-A=119289984$

P/s: Hình như em trừ sai rồi Anh Nobodyv3 khai thông đi anh 

Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong đó các chứ số từ 1 đến 5 được viết theo thứ tự tăng đần từ trái sang phải nhưng các số từ 1 đến 6 thì không được xếp như vậy?

+) Ta chỉ có 1 cách sắp xếp các chữ số 1;2;3;4;5

+) Chọn vị trí cho chữ số 6 có 5 cách tương ứng với 5 khoảng trống: _1_2_3_4_5   ( vì chữ số 6 ko thể đứng sau chữ số 5)

+) Chọn vị trí cho chữ số 7 có 7 cách tương ứng với 7 khoảng trống: _1_2_6_3_4_5_

+) Chọn vị trí cho chữ số 8 có 8 cách tương ứng với 8 khoảng trống: _7_1_2_6_3_4_5_

+) Chọn vị trí cho chữ số 9 có 9 cách tương ứng với 9 khoảng trống: _7_1_8_2_6_3_4_5_

+) Chọn vị trí cho chữ số 0 có 9 cách tương ứng với 9 khoảng trống: 7_9_1_8_2_6_3_4_5_( vì chữ số 0 không thể đứng đầu)

Như vậy, có tất cả là : $1.5.7.8.9.9 = 22680$ ( số)

Ràng buộc "xếp theo thứ tự tăng dần" chỉ ảnh hưởng đến các chữ số 1,2,3,4,5 cho nên chữ số 0 đứng ở đâu cũng được. Tdụ :123045 là hợp lệ.

Em cứ nghĩ đề là chữ số ở vị trí thứ 1 2 3 4 5 tăng dần Hóa ra đề là chữ số 12345 

Ý là số 6 mình ko được xếp sau 5 chữ số kia đk anh ?

Bạn có thể cho mình hỏi là tại sao lại xét trường hợp $ 5\geqslant m$ và $\ 5< m $ được không ?

Bạn vẽ ra nháp 1 trục tọa độ có vị trí -3 và 7

Sau đó bạn cứ cho bừa vị trí của -m; m+2 vào đó ( nhưng -m<m+2)

Như thế sẽ dễ làm hơn

Đặt $A=(-m;m+2)\cup (-3;7)$

+) TH1:$m> 5$ $\Rightarrow A=(-m;m+2)$

+) TH2:$5\geq m> 3$ $\Rightarrow A=(-m;7)$

+) TH3:$-1<m\leq 3$ $\Rightarrow A=(-3;7)$

Gọi số cần tìm có dạng:$a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}a_{7}a_{8}a_{9}a_{10}$

+) Chọn 5 chữ số trong 10 chữ số để xếp vào vị trí từ $a_{1}$ đến $a_{5}$

Mà 5 chữ số đó xếp theo thứ tự tăng dần nên ta không thể chọn số 0 ( vì số 0 không thể đứng ở các vị trí từ a1 đến a5)

Do đó ta xét 2 Trường hợp sau:

+)TH1: Chữ số 0 đứng ở vị trí $a_{6}$

Chọn 5 chữ số trong 9 chữ số còn lại và xếp vào vị trí từ $a_{71}$ đến $ a_{5}$, Có: $C_{9}^{5}$ ( cách)

Xếp 4 chữ số còn lại vào các vị trí $a_{7};a_{8};a_{9};a_{10} $ có: 4! ( cách)

+)TH2: Chữ số 0 đứng ở 1 trong 4 vi trí từ $a_{7}$ đến $a_{10}$

 Chọn 6 chữ số để xếp vào 6 vị trí từ $a_{1}$ đến $a_{6}$, có: $C_{9}^{6}$

• Trong 6 chữ số đã chọn,  Chữ số nhỏ nhất sẽ đứng ở $a_{1}$; chữ số lớn nhất sẽ đứng ở $a_{5}$
• Chọn chữ số đứng ở $ a_{6}$ có 4 (cách)
• 3 chữ số còn lại chỉ có 1 cách xếp vào $a_{2};a_{3};a_{4}$ 

Sắp xếp 4 chữ số còn lại vào $a_{7}$ đến $a_{10}$ có: 4!

Như vậy có tất cả là: $C_{9}^{5}.4!+C_{9}^{6}.4.4!=11088$

$P=a^{3}+b^{3}+c^{3}+abc=a^{3}+9(b+c)(b^{2}+c^{2}-bc)+abc=bc.a-bc(b+c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

$\rightarrow f(bc)=bc(a-b-c)+a^{3}+(b+c)(2-a^{2})$

Vì hàm f(bc) luôn đồng biến hoặc nghịch biến nên cực trị đạt tại 2 đầu mút là $bc=0$ hoặc $ bc=1$ do ($0\leq bc\leq 1$ )

+) TH1: $bc=0$ $\Rightarrow$ $b=0$ hoặc $c=0$

Do vai trò b,c như nhau $\rightarrow$ giả sử $c=0$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=2 & \\ P=a^{3}+b^{3} & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow P=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$

Xét hàm $f(a)=a^{3}+(2-a^{2})\sqrt{2-a^{2}}$  ; ( với $0\leq a\leq \sqrt{2}$ )

$\rightarrow f'(a)=3a(2-\sqrt{2-a^{2}})$

$f'(a)=0 \Leftrightarrow a=0$ hoặc $ a=1$

BBT:

• a       0            1        $\sqrt{2}$
• f'(a)   0            0            /
• f(a)   $2\sqrt{2} \rightarrow 2\rightarrow 2\sqrt{2}$

Từ đó suy ra đpcm

+) TH2: $bc=1$$\rightarrow a=0$

Giải tương tự như TH1 

P/s: Cách làm của Kiên