Le Tuan Canhh

$P=n^{6}-3n^{5}+6n^{4}-7n^{3}+5n^{2}-2n=n(n-1)(n^{2}-n+1)(n^{2}-n+2)$

Vì $n(n-1)\vdots 2$ nên ta đặt $n(n-1)=2k$  ( với $k\in \mathbb{N}$*)

$P=2k(2k+1)(2k+2)$  luôn chia hết cho 3

$P=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)$ luôn chia hết cho 8

Suy ra P chia hết cho 24 

P/s: thường những dạng cho f(x) chia hết 1 số thì bạn thứ tách đa thức thành cách phần tử xem 

Có: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=4\Rightarrow \frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=7\Rightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})=7\Rightarrow a+b+c=7$

Có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\Rightarrow ab+bc+ca=4abc$

Có: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=1\Rightarrow \frac{1}{7-c}+\frac{1}{7-b}+\frac{1}{7-a}=1\Rightarrow abc=6(ab+bc+ca)-49$

Suy ra $abc=24abc-49\Rightarrow abc=\frac{49}{23}$

P/s: rảnh quá ngồi đào bài 

Bạn tham khảo ở 3 link này xem xem có giải được k ?

https://diendantoanh...ủa-1-số-nguyên/

https://diendantoanh...3-thì-abc-là-l/

https://diendantoanh...-z/#entry558797

P/s :Lời giải có ở link thứ 3. 

Có: $a+b=ab-1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}+2ab=a^{2}b^{2}-2ab+1\Leftrightarrow a^{2}b^{2}-4ab-12=0\Leftrightarrow (ab-6)(ab+2)=0$

• TH1: $ab=6 \Rightarrow$ Tìm được $a=3; b=2$ hoặc $a=2;b=3 $ $\Rightarrow P=19$
• TH2: $ab=-2\rightarrow$ Tìm được $a=\frac{-3+\sqrt{17}}{2};b=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$ và ngược lại  $\Rightarrow P=11\sqrt{17}$

CHo tam giác ABC vuong tại A, D là 1 điểm nằm trong tam giác ABC sao cho CD=CA. M là 1 điểm trên cạnh AB sao cho $\widehat{BDM}=\frac{1}{2}\widehat{ACD}$, N là gia điểm của MD và đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh rằng DM=DN

Cho 3 số thực dương a,b,c. Tìm max $P=\frac{1}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}-\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Gọi a,b,c lần lượt là số cổ động viên nhận được 2 tấm ảnh là : ảnh X và Y ; ảnh Y và Z: ảnh Z và X

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+c=7 & & \\ a+b=8 & & \\ b+c=9 & & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=5 & & \\ c=4 & & \end{matrix}\right.$

+ Chọn 3 trong 12 người nhận 2 tấm ảnh X và Y là: $C_{12}^{3}$

+ Chọn 5 trong 9 người nhận 2 tấm ảnh Y và Z là : $C_{9}^{5}$

+ Chọn 4 trong 4 người nhận 2 tấm ảnh Z và X là : $C_{4}^{4}$

Như vậy, có tất cả là: $C_{12}^{3}C_{9}^{5}C_{4}^{4}=27720$

Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn $6xyz=x^2+2y^2+3z^2$.

1) CM :$\frac{1}{y}+ \frac{2}{x}\leq 3$

2) Tìm max $P=10x+6y+2z+\frac{4}{x}+\frac{3}{y}+\frac{2}{z}$

Phần 1 thì mình có thể tách ra như sau : $6xyz=x^{2}+z^{2}+2(y^{2}+z^{2})\geq 2xz+4yz$ $\Rightarrow 3\geq \frac{1}{y}+\frac{2}{x}$

Khui cùng anh Nobodyv3 =)) món khoái khẩu 

Xét riêng: $\frac{1-x^{2}}{x+yz}=\frac{(x+y+z)^{2}-x^{2}}{x(x+y+z)+yz}=\frac{(2x+y+z)(y+z)}{(x+y)(x+z)}=\frac{y+z}{x+y}+\frac{y+z}{x+z}$

Tương tự có : $\frac{1-y^{2}}{y+zx}=\frac{z+x}{y+x}+\frac{z+x}{y+z}$

                       $\frac{1-z^{2}}{z+xy}=\frac{x+y}{z+x}+\frac{x+y}{z+y}$

Chịu khó quan sát và cộng hết lại ta có :

           $VT=\frac{x+2y+z}{x+z}+\frac{x+y+2z}{x+y}+\frac{2x+y+z}{y +z}=3+2(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq 6$

Chú ý khi tính XS:
Tdụ :XS để người thứ nhất bắn trúng 4 lần là : $C_{10}^{4}\times 0,4^4 \times 0,6^6$
Ngoài ra, có 25 tình huống mà mỗi người bắn trúng nhiều nhất 4 lần...

Em tưởng là đề chỉ cho là bắn 10 lần và bắn trúng bao nhiêu và không trúng bao nhiêu thì mình không cần quan tâm đến thứ tự các lần bắn ạ 

Do đó theo em là không có $C_{10}^{4}$

Nhận thấy vì có 4 đại biểu nên sẽ có 2 đại biểu (đb) thuộc cùng 1 nước .
- Cả 4 đb là nam : có $C_{4}^{2}\left(C_{5}^{1}\right)^2+2C_{4}^{1}C_{5}^{2}C_{5}^{1}$
- Cả 4 đb là nữ: có $3C_{2}^{2}\left(C_{2}^{1}\right )^2$
Số cách chọn 4 đb thỏa yêu cầu là :
$C_{20}^{4}-\left[C_{4}^{2}\left(C_{5}^{1}\right )^2+2C_{4}^{1}C_{5}^{2}C_{5}^{1}+3C_{2}^{2}\left (C_{2}^{1}\right )^2\right]$E

Em thấy là anh chưa trừ đi trường 1 số trường hợp nữa như là TH chỉ có 4 đại biểu từ 2 nước tham gia  ;... sao mình chỉ trừ đi 4 nam và 4 nữ thôi ạ 

Và em nghĩ là làm phần bù sẽ khá là rắc rối nên em làm trực tiếp luôn 

+) Xếp 8 bạn thành 1 hàng ngang, $n(\omega )=8!$

+) Biến cố A:"trong 8 học sinh trên không có 2 học sinh cùng giới cạnh nhau, đồng thời Thanh đứng cạnh Nam và Cường."

Nhận xét:Để ko có 2 bạn cùng giới nào đứng cạnh nhau nên ta chỉ có 2 cách xếp là 4 bạn nam vào 4 vị trí 1-3-5-7 hoặc 2-4-6-8

Để đồng thời Thanh đứng cạnh Nam và Cường.thì Thanh sẽ đứng giữa Nam và Cường

Ta chỉ có thể xếp Thanh vào 1 trong 6 vị trí : 2;3;4;5;6;7 ; có 6 cách chọn

Vì các trường hợp tương tự nhay nên ta xét 1 trường hợp bất kì, Thanh đứng ở vị trí số 2

+) Thì Nam và Cường có thể chọn 1 trong 2 vị trí 1 và 3 nên có 2 cách chọn

+) Sắp xếp 3 bạn nữa vào 3 vị trí 4;6;8 có 3! ( cách)

+) Sắp xếp 2 bạn nam nữa vào 2 vị trí;5;7 có 2! ( cách)

Vậy $p(A)=\frac{6.2.3!.2!}{8!}=\frac{1}{280}$

+) Chọn 5 trong 8 chữ số còn lại có : $C_{8}^{5}$

+) Sắp xếp 5 chữ số trên với 2 chữ số 2 có : $\frac{7!}{2!}$

Vậy có: $C_{8}^{5}.\frac{7!}{2!}=141120$

+) Chọn ra 4 trong tổng 20 đại biểu có: $n(\omega )=C_{20}^{4}$

+) Biên cố A: " 4 đại biểu để mỗi nước đều có ít nhất một đai biểu và có cả đại biểu nam và nữ"

•  TH1: Chọn 2 nữ A; 1 nam B và 1 nam C; có: $1.5.5=25$
•  TH2: Chọn 2 nữ B; 1 nam A và 1 nam C; có: $1.4.5=20$
•  TH3: Chọn 2 nữ C; 1 nam A và 1 nam B; có: $1.4.5=20$
•  TH4: Chọn 1 nữ A; 1 nam B và 2 nam C; có: $2.5.C_{5}^{2}=100$
•  TH5; Chọn 1 nữ A; 2 nam B và 1 nam C; có: $2.5.C_{5}^{2}=100$
•  TH6; Chọn 1 nữ B; 2 nam A và 1 nam C; có: $2.5.C_{4}^{2}=60$
•  TH7; Chọn 1 nữ C; 2 nam A và 1 nam B; có: $2.5.C_{4}^{2}=60$
•  TH8; Chọn 1 nữ B; 1 nam A và 2 nam C; có: $2.4.C_{5}^{2}=80$
•  TH9; Chọn 1 nữ C; 1 nam A và 2 nam B; có: $2.4.C_{5}^{2}=80$

+) $p(A)=\frac{25+20+20+100+100+60+60+80+80}{C_{20}^{4}}=\frac{109}{969}$