Đến nội dung


Chú ý

Nếu không nhận được email từ diễn đàn, bạn hãy kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org".


Matthew James

Đăng ký: 13-09-2022
Offline Đăng nhập: Hôm qua, 22:40
-----

#735232 Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố...

Gửi bởi Matthew James trong Hôm qua, 22:30

Cho các số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $a-b$ là số nguyên tố và $ab+c(a+b)=3c^2$. Chứng minh rằng $8c+1$ là số chính phương.




#735231 $(n^3+11n)\vdots 6$

Gửi bởi Matthew James trong Hôm qua, 22:05

Bạn có thể sử dụng phương pháp Quy Nạp như bạn ThienDuc1101 trên hoặc có thể sử dụng phương pháp chứng minh trực tiếp như này :

Ta có: $n^3$ + 11n

$n^3$ – n + 12n

= n($n^2$ – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Lại có: 12n ⋮ 6

⇒  n(n – 1)(n + 1) + 12n = n3 + 11n ⋮ 6.




#735230 Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa...

Gửi bởi Matthew James trong Hôm qua, 21:53

Cho $n$ là số nguyên dương, còn $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^3-1$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng $p+n$ là số chính phương. 




#735219 Tổng hợp các bài BĐT

Gửi bởi Matthew James trong 03-10-2022 - 21:58

Cho $x,y,z$ là các số không âm. CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$




#735215 Tìm gtnn và gtln của $T=\frac{1}{a+1}+\fra...

Gửi bởi Matthew James trong 03-10-2022 - 21:31

Mình nghĩ bài này tìm $min$ nên dùng bđt Cauchy-Schwarz. Dùng bđt này bài toán rất là đẹp và rất là gọn:

$T\geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+b+c+1+1+1)}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Dấu bằng $\Leftrightarrow a=b=c=1$




#735210 Tổng hợp các bài BĐT

Gửi bởi Matthew James trong 03-10-2022 - 21:09

 

3+2(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq 6$

 

Anh ơi đoạn này em chứng minh dùng bđt Cauchy-Swcharz thì nó không ra ạ:

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{1}{(x+y+z)^2}=1$

 

À thôi em ra rồi.

$(\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z})\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{3(xy+yz+zx)}{2(xy+yz+xz)}$




#735205 Tổng hợp các bài BĐT

Gửi bởi Matthew James trong 03-10-2022 - 19:39

Với ba số $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=1$, chứng minh rằng:

$\frac{1-x^2}{x+yz}+\frac{1-y^2}{y+zx}+\frac{1-z^2}{z+xy}\geq 6$




#735203 Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1...

Gửi bởi Matthew James trong 03-10-2022 - 19:13

Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$ là số nguyên. Gọi $d$ là Ước chung lớn nhất của $a,b$. Chứng minh rằng $d\leq \sqrt{a+b}$ (Hay cần C/m: $d^2|a+b$)




#735162 Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng: $4(xy+yz+zx)...

Gửi bởi Matthew James trong 01-10-2022 - 20:53

Theo em nghĩ thì có thể bài này sẽ dùng cái này:

$\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq x+\sqrt{yz}$

Tương tự.  :D




#735149 Số tự nhiên $n$ được gọi là số hoàn chỉnh (perfect number) nếu như...

Gửi bởi Matthew James trong 29-09-2022 - 22:38

Số tự nhiên $n$ được gọi là số hoàn chỉnh (perfect number) nếu như tổng tất cả các ước dương của nó bằng $2n$. (VD: 6)

Tìm số hoàn chỉnh $n$ thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện $n-1$ và $n+1$ đều là các số nguyên tố.




#735148 Cho $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,...

Gửi bởi Matthew James trong 29-09-2022 - 22:19

       Cho $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $BC$ cắt $AB,AC$ tại $M,N$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $AB$ cắt $CA,CB$ tại $P,Q$. Kẻ tiếp tuyến với $(I)$ và song song với $AC$ cắt $BC,BA$ tại $H,K$.

       $a)$  Chứng minh $N,I,H$ thẳng hàng.

       $b)$ Chứng minh $NP=HK$.




#735140 Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng: $4(xy+yz+zx)...

Gửi bởi Matthew James trong 28-09-2022 - 20:37

Cho $x,y,z$ là các số không âm. Chứng minh rằng:

$4(xy+yz+zx)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$

 




#735134 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^...

Gửi bởi Matthew James trong 27-09-2022 - 22:57

Bài này em làm được đến đoạn này thì không làm được nữa: 

        Giải

Đặt $\frac{x^3+y^3}{x^2+xy+y^2}=p (p\in P )$

$\Rightarrow x^3+y^3=p(x^2+xy+y^2)$

Đặt $(x,y)=d$ thì $x=da ; y=db (a,b\in N*,(a,b)=1)$

Ta có $d^3(a^3+b^3)=pd^2(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a^3+b^3)=p(a^2+ab+b^2)$

$\Leftrightarrow d(a+b)(a^2-ab+b^2)=p(a^2+ab+b^2)$




#735132 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^...

Gửi bởi Matthew James trong 27-09-2022 - 21:09

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x^3+x^3}{x^2+xy+y^2}$ là một số nguyên tố.




#735120 Cho tam giác $ABC$ có chu vi bằng 1. Cạnh $a,b,c$ thỏa mã...

Gửi bởi Matthew James trong 26-09-2022 - 23:15

Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ ,  $1-b=a+c$ ,  $1-c=b+a$

Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$

Đặt $b+c=x$ , $c+a=y$ , $a+b=z$

Suy ra $a+b+c=\frac{x+y+z}{2}$

Khi đó $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} = \frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z})-\frac{3}{2}\geq 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ 

Suy ra $\Delta ABC$ đều 

 

Em nghĩ rằng bài này còn có một phương pháp chứng minh khác theo em thấy thì cũng khá hay và khá là đẹp (tuy rằng hơi dài) khi áp dụng vào đẳng thức bài cho.

Đó là bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel, em áp dụng như sau:

Do $a+b+c$=1 nên $1-a=b+c$ ,  $1-b=a+c$ ,  $1-c=b+a$

Khi đó $\frac{a}{1-a}=\frac{a}{b+c}$ , $\frac{b}{1-b}=\frac{b}{a+c}$ , $\frac{c}{1-c}=\frac{c}{b+a}$

Em đặt đẳng thức bài cho là $A$

Ta có $A=\sum \frac{a^2}{ab+ac}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$ (Do cauchy-schwarz engel)

Sau đó em áp dụng bđt: $(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow A\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq \frac{3(ab+bc+ca)}{2(ab+bc+ca)}$

$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}$

Dấu "=" khi $a=b=c$

Suy ra điều phải chứng minh.