ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc?
Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử
- HHS yêu thích
Gửi bởi Matthew James trong 17-10-2023 - 21:51
ý mình hỏi là làm ntn để biết là cần phải xét tích 4a.abc?
Mình nghĩ do có $4ac=b^2-m^2$ nên xét tích 4a.abc để có $4ac$ thay vào rồi nhóm nhân tử
Gửi bởi Matthew James trong 17-10-2023 - 21:03
Gửi bởi Matthew James trong 19-09-2023 - 20:49
4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: abc = 1. Tìm min:
$M = \sum \frac{b^2}{(ab+2)(2ab+1)}$
P/s: Bài này là một dạng BĐT khá cơ bản có lẽ trong quá trình học bạn sẽ gặp nhiều dạng như này. Khi gặp đề bài cho thông tin $abc=k$ thì bạn nên thử đặt $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$.
Gửi bởi Matthew James trong 19-09-2023 - 19:54
3. $x^2-3y^2-2xy-2x+14y=11$
$\Leftrightarrow (x+y)(x-3y)+2x+2y-4x+12y=11$$\Leftrightarrow (x-3y+2)(x+y-4)=3$
$\Rightarrow TH1: \left\{\begin{matrix}x+y-4=1 & \\x-3y+2=3 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow TH2,TH3,TH4$ tương tự
Gửi bởi Matthew James trong 14-09-2023 - 08:17
Có $\left\{\begin{matrix} 0\leq x,y,z & \\x+y+z=1 & \end{matrix}\right.$$\Rightarrow 0\leq x,y,z\leq 1$
$\Rightarrow x(x-1)\leq 0\Leftrightarrow x^2-x\leq0\Leftrightarrow x^2\leq x$
Tương tự với $y,z$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\leq x+y+z=1$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,0,0)$ và các hoán vị
Gửi bởi Matthew James trong 11-05-2023 - 21:25
Gửi bởi Matthew James trong 03-04-2023 - 21:21
Cần chứng minh $\sum \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{da}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\frac{cd+da+bc+ab}{abcd}\geq a^2+b^2+c^2+d^2$
$\Leftrightarrow (a+c)(b+d)\geq (a^2+c^2)abcd+(b^2+d^2)abcd$
$2VP=2ac(a^2+c^2)+2bd(b^2+d^2)\leq (\frac{2ac+a^2+c^2}{2})^2.bd+(\frac{2bd+b^2+d^2}{2})^2.ac\leq \frac{1}{4}(a+c)^4.\frac{(b+d)^2}{4}+\frac{1}{4}(b+d)^4.\frac{(a+c)^2}{4}$
$=\frac{1}{32}(a+c)(b+d)2(a+c)(b+d)[(a+c)^2+(b+d)^2]$
$\leq \frac{1}{32}(a+c)(b+d).(\frac{2(a+c)(b+d)+(a+c)^2+(b+d)^2}{2})^2=2(a+c)(b+d)=2VT$
Suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$
Gửi bởi Matthew James trong 01-04-2023 - 20:17
Với $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$, chứng minh rằng $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+\frac{1}{d^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$.
Gửi bởi Matthew James trong 27-03-2023 - 17:37
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng $\frac{a-1}{2a+1}+\frac{b-1}{2b+1}+\frac{c-1}{2c+1}\leq 0$
Gửi bởi Matthew James trong 06-02-2023 - 16:19
$MaxB$:
Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1
Suy ra a,b,c∈[0;1] và a+b+c=2
0≤a,b,c≤1⇒$a^3\leq a^2\leq a$
$B=(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c+3\leq 7(a+b+c)+3=17$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị
Gửi bởi Matthew James trong 06-02-2023 - 16:11
$MaxA$:
Đặt $x=a+1;y=b+1;z=c+1$
Suy ra $a,b,c\in[0;1]$ và $a+b+c=2$
$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2\leq a;b^2\leq b;c^2\leq c$
$A=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=a^2+b^2+c^2+7\leq a+b+c+7=9$
Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị
Gửi bởi Matthew James trong 08-01-2023 - 21:12
Gửi bởi Matthew James trong 25-12-2022 - 09:33
Chứng minh rằng: $a^7-a \vdots 42$.
Biến đổi $a^7-a$
$a^7-a=a(a^6-1)=a(a^3-1)(a^3+1)=a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$
Mà $a-1,a,a+1$ là 3 số liên tiếp
$\Rightarrow a(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)\vdots 6$ (1)
Cần chứng minh $a^7-a \vdots 7$
Xét các trường hợp $a=7k, a=7k+1,a=7k+2...a=7k+6$ ta đều thấy $a^7\equiv a(mod7)$ nên $a^7-a\vdots 7$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a^7-a\vdots 42$
Gửi bởi Matthew James trong 22-12-2022 - 20:35
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh
$\frac{a}{a+b^2}+\frac{b}{b+c^2}+\frac{c}{c+a^2}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
(Tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Tin thành phố Hà Nội 2016-2017)
Gửi bởi Matthew James trong 21-12-2022 - 22:43
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học