Nguyễn Trung Nghĩa

Câu 5 nhá!!!
Vì $x+y=5$ nên $x=5-y$.
Có: $4x+y=4(5-y)+y=20-3y$
$2x-y=2(5-y)-y=10-3y$
suy ra $2x-y=4x+y-10$
Thay vào ta có: $P=\frac{4x+y}{xy}+\frac{4x+y-10}{4}=\frac{4x+y}{xy}+\frac{4x+y}{4}-\frac{5}{2}$
Theo AM-GM:
$P\geq 2\sqrt{\frac{(4x+y)^{2}}{4xy}}-\frac{5}{2}\geq 2.2-\frac{5}{2}= \frac{3}{2}$
Dấu = xảy ra khi $4x=y,xy4,x+y=5$ hay x=1; y=4

Đề thi chuyên Hạ Long môn toán vòng 2.

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1: Cho biểu thức:

$A=(1-\frac{2\sqrt{a}}{a+1})\frac{1}{\sqrt{a+1}}-\frac{2}{a\sqrt{a}+\sqrt{a+a+1}})$ với$a\geq 0, a\neq 1$

1. Rút gọn biểu thức A.

2. Tính giá trị biểu thức A khi $a=2013+2\sqrt{2012}$

Câu 2:

1.Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x(1+y)=5-y\\x^{2}y=4-xy^{2} \end{matrix}\right.$

2.Giải phương trình: $4x^{2}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

Câu 3: Tìm $m$ để phương trình:$x^{2}-(m+2)x+m^{2}+1=0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức: $x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}=3x_{1}x_{2}$

Câu 4: Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, trên cạnh$BC,CD$ lấy hai điểm $E,F$ thay đổi sao cho $\widehat{EAF}=45^{\circ}$ ($E$ thuộc $BC$, $F$ thuộc $CD$, $E$ khác $B$ và $C$). Đường thẳng $BD$ cắt hai đoạn thẳng $AE$ và $AF$ lần lượt tại $M$ và $N$. Đường thẳng đi qua $A$ và giao điểm của $EN,MF$ cắt $EF$ tại $H$.

a) Chứng minh rằng $AH$ vuông góc với $EF$

b) Chứng minh rằng $EF$ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định.

c) Tìm vị trí của $E$ và $F$ để diện tích tam giác $FEC$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5: Cho 2 số thực dương $x, y$ thỏa mãn: $x+y=5$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{4x+y}{xy}+\frac{2x-y}{4}$

1. Cho $x,y,z\geq 1$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$
CMR: $\sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

2. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=3
CMR: $P=(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. Giải phương trình: $\frac{2012x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2012}+x^{2}}{2011}=2012$

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM HỌC 2011 – 2012

Môn thi : Toán chuyên (06/05/2012)

Thời gian : 150 phút

Câu I (3 điểm)
1) Đơn giản biểu thức

$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

2) Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=2\\ 2(x+y)^{2}+3xy(x+y)^{3}=32\end{matrix}\right.$

Câu II ( 3 điểm)
1) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho 15 và các chữ số của nó hoặc bằng 0 hoặc bằng 8.
2) Với a, b là những số thực dương thỏa mãn $a+2b\leq \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$a+\frac{1}{a}+2(b+\frac{1}{b})$

Câu III (3 điểm). Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp (O). Phân giác góc BAC cắt (O) tại D khác A, E đối xứng với D qua O. Gọi F là một điểm trên cung BD không chứa A,C của (O); FE cắt BC tại G, H thuộc AF sao cho GH song song với AD. Chứng minh rằng HG là phân giác của góc BHC.

Câu IV (1 điểm). Với a,b,c là những số thực dương, chứng minh rằng:

$\frac{a^{2}b}{ab^{2}+1}+\frac{b^{2}c}{bc^{2}+1}+\frac{c^{2}a}{ca^{2}+1}\geq \frac{3abc}{1+abc}$

Câu 2:
1. cộng 2 vế đc: $x^{2}+4y^{2}+4xy+x+2y=12 \Leftrightarrow (x+2y)^{2}+x+2y-12=0 \Leftrightarrow (x+2y+6)(x+2y-6)=0$
cứ thế rồi giải tiếp

Bạn làm nhầm rồi, phải là $(x+2y-3)(x+2y+4)=0$ chứ

Mình làm câu 2 nhưng chưa chắc đúng nhé !
Vắng tắt tý
A,P,H,M,N cùng thuộc 1 đường tròn nên $\widehat{AHN}=\widehat{APN}=45^{\circ}$
NHEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{NHB}=\widehat{NEB}=45^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AHB}=90^{\circ}=\widehat{ADB}$ nên AHDB nội tiếp đường tròn đường kính AB
$S_{AHB}=\dfrac{1}{2}AB.HK$(HK vuông góc với AB tại K)
Do đó $S_{AHB}$ khi HK max,khi đó H là trung điểm cung AB,tức H trùng D.Tức M trùng D

Bạn ơi, bọn mình mới học xong học kì I lớp 9 nên chưa học tới tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp đâu, minh giải như sau:
Lấy I đối xứng với D qua AB, AB giao ID tại F.
Bạn lovemath123 đã chứng minh $\bigtriangleup IDH$ vuông tại H rồi mình không chứng minh lại nha.
Vì $\bigtriangleup IDH$ vuông mà HK là trung tuyến thuộc cạnh huyền
$\Rightarrow HK=IK=IK=\dfrac{ID}{2}$
Dễ chứng minh AB = ID,
$\Rightarrow HK=AK=BK=\dfrac{AB}{2}$
$\Rightarrow \bigtriangleup AHB$ vuông tại H.
$\Rightarrow S_{AHB}=AH.BH$
$\Rightarrow S_{AHB}$ max khi AH=BH
$\Rightarrow$ H trùng với D hay M trùng với D
Không biết mình giải có đúng không, mong mọi người chỉ giáo

Mình làm phần 2 nha:
Đặt AF=AE=x
BF=BD=y
CD=CE=z
Từ giả thiết có:
$AB.BC=2BD.CD$
$\Leftrightarrow (x+y)(x+z)=2yz$
$\Leftrightarrow x^{2}+xy+xz+yx=2yz$
$\Leftrightarrow (x+y)^{2}+(x+z)^{2}=(y+z)^{2}$
$\Leftrightarrow AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$
Theo định lí Pitago đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A

b) Dễ thấy a là số dương nên ta chứng minh: ${a^4} > {3^3}$

Ta có: ${a^4} = a.{a^3} = a(3a + 6) = 3{(a + 1)^2} - 3$

Đến đây dùng phép biến đổi tương đương:

$3{(a + 1)^2} - 3 > {3^3} \Leftrightarrow {(a + 1)^2} > 10 \Leftrightarrow a > \sqrt {10} - 1$

Ta để ý thì có: $\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} > \sqrt[3]{{3 + 2}} > \sqrt[3]{{3 + 1,913}} = 1,7$

Tương tự: $\sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }} > 0,5$

Do đó: $VT > 2,2 = \sqrt {10,24} - 1 > \sqrt {10} - 1$

Vậy ta có ĐPCM.

Cảm ơn bạn vì cách giải vừa rồi nhưng mình có cách khác như sau:
Ta có: $a^{3}=6+3a=3(1+1+a)> 3.3\sqrt[3]{a}$
(Theo BĐT Cô-si cho 3 số dương)
Dấu "=" không xảy ra vì nếu xảy ra thì x=1, ta dễ chúng minh đc x>1 như sau:
$\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}>\sqrt[3]{1}=1$
và $\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}> 0$
$\Rightarrow a> 1$

Ta có: $a^{3}> 3^{2}.\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow (a^{3})^{3}>(3^{2}.\sqrt[3]{a})^{3}$
$\Leftrightarrow a^{9}>3^{6}.a\Leftrightarrow a^{8}>3^{6}$
Vậy ta có ĐPCM

2.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $M=\sqrt{28+3x-x^{2}}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$

Mình làm bài này nha!!!
Ta tìm ĐKXĐ:
$\left\{\begin{matrix} 28+3x-x^{2}\geq 0 & \\ 5+4x-x^{2}\geq 0& \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
(x+4)(7-x)\geq 0 & \\
(x+1)(5-x)\geq 0&
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 1\leq x\leq 5$

Ta có
$M=\sqrt{28+3x-x^{2}}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$
$\Leftrightarrow M=\sqrt{23-x+(5+4x-x^{2})}+\sqrt{5+4x-x^{2}}$
Vì $5+4x-x^{2}\geq 0$
$\Rightarrow \sqrt{28-x+(5+4x-x^{2})}\geq \sqrt{28-x}$$\Rightarrow M\geq \sqrt{28-x}$
Vậy M min khi (28-x)min nên x sẽ max
Theo đk bài $\Leftrightarrow 1\leq x\leq 5$ nên $x_{max}=5$
$\Rightarrow M_{min}=\sqrt{28-5}=\sqrt{18}$

Nếu yêu cầu tính góc CHI thì bạn tính như sau:


Kẻ phân giác CK của $\widehat{HCB}$ ( K thuộc AB ). Trên tia đối của KC, lấy D sao cho CK=KD
Vì BI là phân giác $\widehat{ABC}$ nên:

$\dfrac{AI}{CI}=\dfrac{AB}{BC} (*)$

Vì CK là phân giác $\widehat{HCB}$ nên:

$\dfrac{HK}{BK}=\dfrac{CH}{BC} (1)$

Vì $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A, có $\widehat{ACH}$=$30^{\circ}$
=> CH=2AH (2)

Xét $\bigtriangleup KCB$ có: $\widehat{KCB}$=$\widehat{KBC}$=$20^{\circ}$
=> CK=BK => BK=$\dfrac{CD}{2} (3)$

Vì BK=$\dfrac{CD}{2}$ nên $\widehat{B}$ = $90^{\circ}$

Thay (2) và (3) vào (1) có:
$\dfrac{HK}{BK}=\dfrac{CH}{BC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{HK}{\dfrac{CD}{2}}=\dfrac{2AH}{BC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{AH}{HK}=\dfrac{BC}{CD}(**)$

Ta lại có
$\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup BCD (g.g)$

=> $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BC}{CD} (***)$

Từ (*), (**), (***) ta có:
$\dfrac{AI}{CI}=\dfrac{AH}{HK}$

=> IH//CK
=> $\widehat{CHI}$ = $\widehat{HCK}$ = $20^{\circ}$

Cho $A= 2+2\sqrt{12n^{2}+1}, n\in \mathbb{N}$.
Chứng minh: Nếu $A \in \mathbb{N}$ thì A là số chính phương

Mình thêm bài này nữa nha!!
Chứng minh phương trình: x(x+1)=4y(y+1) không có giá trị nguyên dương, nhưng có vô số nghiệm hữu tỉ

Chào mọi người, hôm nay mình đăng một số bài hình mong mọi người giải giúp mình. Mình đang cần gấp, thanks!!!

Bài 1: Cho M là một điểm bất kì thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng:
\[MA^2 + MC^2 = MB^2 + MD^2 \]
Bài 2: Cho tứ giác ABCD có \[

\hat A + \hat B = 90^ \circ \]
khi và chỉ khi \[AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 \]
Bài 3: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A nhọn, đường cao BH. Chứng minh rằng: \[\dfrac{{AH}}{{HC}} = 2\left( {\dfrac{{AB}}{{BC}}}\right)^2 - 1\]
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, M là trung điểm AC. MI cắt AB tại N. Gọi E là trung điểm của IN, F thuộc cạnh BC sao cho FC=3FB. Đường thẳng EF cắt AB ở D, cắt đường thẳng IA ở K. Chứng minh: tam giác ADK cân

Hê lô mọi người, hôm nay mình lập topic này mong mọi người cùng suy nghĩ và giải nha!!!

Bài 1: Cho \[x = \sqrt[3]{{17 + 12\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{17 - 12\sqrt 2 }}{\rm{ ; y = }}\sqrt[3]{{3 + 2\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{3 - 2\sqrt 2 }}\]
a, Tính \[P = {({y^3} - 3y - 5)^{2010}}{\rm{ ; Q = }}{{\rm{x}}^3} + {y^3} - 3(x + y) - 2010\]
b, CMR y là số vô tỷ và \[{y^8} > {3^6}\]