Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ và $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}+\frac{15a^2b^2(a-b)}{\sum (a+b)^2}$
There have been 473 items by shinichikudo201 (Search limited from 05-06-2020)
Posted by shinichikudo201 on 17-09-2016 - 21:14 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a\geq b\geq c\geq 0$ và $ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng:
$(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{9}{4}+\frac{15a^2b^2(a-b)}{\sum (a+b)^2}$
Posted by shinichikudo201 on 17-09-2016 - 21:08 in Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm $GTNN$ $\sum \left | 6a^3+bc \right |$
Posted by shinichikudo201 on 24-07-2016 - 18:17 in Hình học
Posted by shinichikudo201 on 31-05-2016 - 15:22 in Hình học
Bạn ghi đề sai rồi, đề đúng phải là chứng minh $DI$ đi qua chân đường đối trung của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$ là $G.$ Mình xin đưa ra chứng minh như sau:
Tiếp tuyến tại $B,C$ của $(ABC)$ cắt nhau ở $X,BC$ cắt $AD$ ở $Y.$ Dễ thấy $G$ chính là giao điểm của $BC$ và $AX.$ Ta cần chứng minh $D,I,G$ thẳng hàng.
Ta có : $D,I,G$ thẳng hàng $\Leftrightarrow (YGBC) = (YDFE)$ (chiếu xuyên tâm $I$ ) $\Leftrightarrow (YAEF) = (YDFE)$ (do $(YGBC)=(YAEF)$ theo phép chiếu xuyên tâm $X$ )
$\Leftrightarrow \frac{\overline{YE}}{\overline{YF}}:\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}=\frac{\overline{YF}}{\overline{YE}}:\frac{\overline{DF}}{\overline{DE}} \Leftrightarrow \frac{\overline{YE}^{2}}{\overline{YF}^{2}}=\frac{\overline{AE}.\overline{DE}}{\overline{AF}.\overline{DF}} \Leftrightarrow \frac{\overline{EY}^{2}}{\overline{FY}^{2}}=\frac{\overline{EA}.\overline{ED}}{\overline{FA}.\overline{FD}}. (1)$
Chú ý theo $Menelaus$ thì $\frac{YE}{YF}.\frac{FC}{CX}\frac{XB}{BE}=1,$ mà $BX=CX$ nên suy ra $\frac{YE}{YF}=\frac{BE}{CF}.$ Lại theo tính chất phương tích, $EB^{2} = EA.ED$ và $FC^{2}=FA.FD$ nên ta dễ dàng suy ra $(1)$ đúng.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tam giác $ABC$ đều.
Posted by shinichikudo201 on 30-05-2016 - 17:57 in Hình học
Posted by shinichikudo201 on 28-05-2016 - 11:11 in Hình học
Posted by shinichikudo201 on 26-05-2016 - 19:38 in Số học
Tìm tất cả các số nguyên dương m thỏa mãn với một số $n>2$ nào đó, nếu $m^{n}\equiv 1(mod n)$ thì $m\equiv 1(mod n)$
Posted by shinichikudo201 on 14-12-2015 - 18:00 in Hình học
Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ cố định. $M$ là một điểm di động trên $(O)$. Vẽ đường tròn tâm $I$ qua $A$. Chứng minh trục đẳng phương của $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Posted by shinichikudo201 on 02-12-2015 - 19:16 in Số học
Định lý Hilbert Waring là gì vậy, bạn có thể nói rõ hơn được không?
Thực chất tên nó là 'bài toán của Waring', được chứng minh bởi Hilbert nên bạn ấy gọi là 'định lý Hilbert-Waring' thôi bạn à
Posted by shinichikudo201 on 26-11-2015 - 20:03 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm $a$ để tích các nghiệm của phương trình $(x+a)(x^2-a^2-2a-1)=0$ nhỏ hơn nghiệm nhỏ nhất của phương trình này.
Posted by shinichikudo201 on 26-11-2015 - 19:57 in Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
Tìm $m$ để phương trình $(x-m)^2[m(x-m)^2-m-1]=-1$ có nghiệm dương nhiều hơn nghiệm âm.
Posted by shinichikudo201 on 24-11-2015 - 19:51 in Tổ hợp và rời rạc
Cho $p$ là một số nguyên tố và số nguyên $n$ thỏa mãn $p\geq n\geq 3$. Tập $\mathbb{A}$ là tập các dãy độ dày $n$ với các phần tử thuộc tập $\left \{ 0; 1; 2; ...; n \right \}$ và có tính chất: với mọi phần tử $(x_1; x_2; ..; x_n)$ và $(y_1; y_2; ...; y_n)$ thì có $3$ số nguyên dương phân biệt $k; l; m$ để $x_{k}\neq y_{k}; x_{m}\neq y_{m}; x_{l}\neq y_{l}$. Xác định số phần tử lớn nhất của tập $\mathbb{A}$
Posted by shinichikudo201 on 24-11-2015 - 19:43 in Số học
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$
Posted by shinichikudo201 on 24-11-2015 - 19:24 in Số học
Cho $a; b$ là hai số nguyên dương sao cho $a^n+n$ là ước của $b^n+n$ với mọi $n\in \mathbb{Z}^{+}$. Chứng minh $a=b$.
Posted by shinichikudo201 on 10-11-2015 - 21:06 in Phương trình, Hệ phương trình Lượng giác
Giải phương trình:
1, $\cos 2x-\cos 6x+4(3sinx-4\sin ^3x+1)= 0$
2, $\cos 3x.\cos ^{3}x+\sin ^{2}x.\sin 3x= \frac{\sqrt{2}}{4}$
3, $\cos 10x+2\cos ^{2}4x+6\cos 3x.\cos x=\cos x+8\cos x.\cos ^{3}3x$
4, $2\cos ^{3}x+\cos 2x+\sin x=0$
Posted by shinichikudo201 on 22-10-2015 - 21:28 in Bất đẳng thức và cực trị
Giá trị nhỏ nhất mà bạn
Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{b^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{c^{2}+a^{2}+1}$
Có lẽ bài này không thể tìm được GTNN.
Posted by shinichikudo201 on 22-10-2015 - 20:46 in Bất đẳng thức và cực trị
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=x\sqrt{6-x}+(5-x)\sqrt{x+1}$, với $0\leq x\leq 5$.
(Trích đề thi HSG quận 1 TPHCM năm 2015-2016)
Đặt $\left\{\begin{matrix} x=a & \\ 5-x=b& \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=5;a;b\geq 0 & \\ P=a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}& \end{matrix}\right.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P^2= (\sqrt{a}.\sqrt{a(b+1)}+\sqrt{b}.\sqrt{b(a+1)})^{2}\leq (a+b)[a(b+1)+b(a+1)]= 5(2ab+5)$
ngoài ra với $2ab\leq 2(\frac{a+b}{2})^2= \frac{25}{2}$ ta suy ra được $max P=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ đạt được tại $a=b=\frac{5}{2}$
Posted by shinichikudo201 on 22-10-2015 - 20:24 in Bất đẳng thức và cực trị
Chứng minh rằng với $k\in \mathbb{N};k\geq 2$ thì:
$\frac{k}{2}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2^k-1}< k$
Không sử dụng phương pháp quy nạp.
Posted by shinichikudo201 on 08-10-2015 - 21:34 in Bất đẳng thức - Cực trị
1/Chứng minh $-\sqrt{a^2+b^2}\leq a\sin (t)+b\cos (t)\leq \sqrt{a^2+b^2}$ với $\forall t;a;b\in \mathbb{R}$
2/Tìm min; max của $2a^2-3ab+4b^2$ với $\forall a;b\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$
Posted by shinichikudo201 on 28-09-2015 - 20:44 in Hình học phẳng
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, đường phân giác trong $AD$ ($D\in BC$). Tính
$\mathfrak{P}_{D/(O)}$
Posted by shinichikudo201 on 29-08-2015 - 20:46 in Số học
thì mình không biết nhung kí hiệu này theo mình là song song
Song song là kí hiệu hình học bạn nhé, cái kí hiệu này là số học, trong ví dụ đó hình như nó có nghĩa là k là số lớn nhất thỏa mã tính chất $3^k$ chia hết $n$.
Posted by shinichikudo201 on 29-08-2015 - 20:07 in Số học
Cho mình hỏi kí hiệu $\parallel$ trong số học có nghĩa là gì? Ví dụ $3^k\parallel n$ là gì?
Posted by shinichikudo201 on 12-08-2015 - 21:52 in Số học
1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:
$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$
(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát)
2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:
$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$
3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.
Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$
4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:
$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.
5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?
6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$
(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:
Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)
Bài 2: Trước hết ta chứng minh rằng với mọi số lẻ $a\geq 3$, mọi số $n$ nguyên dương và không chia hết cho $a$ ta có:
$(1+a)^{a^{n}}=1+S_{n}.a^n+1$ trong đó $n$ là số nguyên dương và không chia hết cho $a$
Với $n=1$ ta có: $(1+a)^a=1+C_{a}^{1}a+C_{a}^{2}a^2+...+C_{a}^{a}a^a= 1+a^2(1+C_{a}^{2}+C_{a}^{3}a+...)= 1+S_{1}a$
Vì $a$ là số lẻ nên $a\mid C_{a}^{2}$ và do đó $a$ không là ước số của $S_{1}$
Giả sử khẳng định trên đúng cho tới $n$, khi đó với $n+1$ ta có:
$(1+a)^{a^{n+1}}= (1+S_{n}.a^{n+1})^{a}= 1+C_{a}^{1}S_{n}a^{n+1}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{2}a^{2n+2}...= 1+a^{n+2}[S_{n}+C_{a}^{2}{S_{n}}^{a}a^n...]= 1+S_{n+1}a^{n+2}$
Vì $S_n$ không chia hết cho $a$ nên $S_{n+1}$ không chia hết cho $a$. Như vậy mệnh đề trên đã được chứng minh theo nguyên lý quy nạp).
Lập luận tương tự ta chứng minh được với mỗi số lẻ $b\geq 3$ và mỗi số nguyên dương $n$ ta có: $(b-1)b^n=-1+t_nb^{n+1}$ với $t_n$ là số nguyên dương không chia hết cho $b$.
Áp cũng kết quả bài trên ta có $k_{max}=1999$
Posted by shinichikudo201 on 12-08-2015 - 20:55 in Số học
1, (bài 22, tr9) Cho $a<b<c<d<e$ là các số nguyên dương. Chứng minh:
$\frac{1}{[a,b]}+\frac{1}{[b,c]}+\frac{1}{[c,d]}+\frac{1}{[d,e]}\leq \frac{15}{16}$
(Hướng dẫn: chứng minh bằng quy nạp bài toán tổng quát rồi suy ra trực tiếp từ kết quả bài toán tổng quát)
2, (bài 9, tr7) ( Tìm giá trị lớn nhất của $k\in \mathbb{N}$ thỏa mãn:
$1998^{1999^{2000}}+2000^{1999^{1998}}\vdots 1999^{k}$
3, (bài 19, tr9) Với $d(n)$ là số các ước số nguyên dương của sô $n\in \mathbb{N}$.
Tìm $n\in \mathbb{N}$ để $(d(n))^3=4n$
4, (bài 33, tr 11) Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho:
$d(n^2)= k.d(n)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó.
5, (bài 34, tr11-12) Liệu có thể tìm được số tự nhiên $n$ có đúng $2000$ ước nguyên tố khác nhau và $n\mid 1+2^{n}$ hay không?
6, (bài 35, tr12) Cho $b; m; n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $b>1$; $m\neq n$. Chứng minh nếu $b^m-1$ và $b^{n}-1$ có các ước số nguyên tố giống nhau thì $b+1$ là lũy thùa của $2$
(HD: Ta chứng minh bổ đề sau:
Cho $a; k$ là các số nguyên dương, $b$ là số nguyên tố lẻ. Giả sử $a-1=p^{\alpha }q ((p,q)=1)$; $k= p^{\beta }q_{1}((p,q_{1})=1)$; $\alpha \geq 1; b\geq 0$ thì ta có $a^k-1=p^{\alpha +\beta }q_{2}((p,q_{2})=1)$)
Posted by shinichikudo201 on 11-08-2015 - 20:19 in Số học
1, Chứng minh $n\in \mathbb{N^*}$ là hợp số $\Leftrightarrow \varphi (n)\leq n-\sqrt{n}$
2, Cho $x;y\in \mathbb{N^*}; (x,y)=1$. Chứng minh mọi ước lẻ của số $x^{2^{n}}+y^{2^{n}}$ đều có dạng $2^{n+1}.m+1$
3, Chứng minh nếu $m;n$ là hai số nguyên dương lẻ thỏa mãn $m \mid n$ thì $\varphi (m)\mid \varphi (n)$
4, Chứng minh nếu $n$ là số nguyên dương có $k$ ước nguyên tố lẻ khác nhau thì $\varphi (n)\vdots 2^k$
5, (Sử dụng Vieta Jumping):
a/ Tìm tất cả các số tự nhiên $p$ thỏa mãn: $x^2+y^2=p(xy-1)$
b/ Cho $a; b$ các số nguyên dương sao cho $ab+1\mid a^2+b^2$. Chứng minh $\frac{x^2+y^2}{xy+1}$ là số chính phương.
(Một cách giải khác của bài 5b có ở đây).
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học