Cho các số nguyên dương $x,y$ thỏa $45x+108y\leq 800 \leq 55x+132y$

Tìm $x,y$ để $x+y$ max, min

Cho các số thực dương $x_1,x_2,...x_n$

Chứng minh bất đẳng thức sau

$ (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)\geq (1+\sqrt[n]{x_1...x_n})^n$

Sử dụng quy nạp hoặc nếu dùng Holder(Chrystal) thì phải chứng minh BĐT ở dạng đó trước

Mọi người giúp mình với ạ

Tìm số chính phương lớn nhất sao cho khi xóa hai chữ số cuối cùng của số đó thì nó vẫn là 1 số chính phương (hai chữ số cuối cùng không đồng thời bằng 0)

Cho dãy số $\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};..;\frac{1}{n}$, tiến hành xóa các số trong dãy và sau khi xóa hai số $a,b$ bất kì thì lại thêm số $a+b+ab$ vào dãy, sau một số lần như vậy thì trong dãy còn lại $1$ số. Chứng minh số đó là $n$

$\sum \frac{a}{a+b}-\frac{3}{2}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$

Bạn làm từ từ giúp mình đc ko, mik ko hiểu lắm

Cho các số thực dương thỏa $a\geq b\geq c$

Tìm GTNN của $\sum \frac{a}{a+b}$

Chứng minh có vô số nguyên tố có dạng $p=ax+b$ ($x\in N; a,b$ nguyên tố cùng nhau)

Cho một hình chữ nhật có các cạnh lớn dài 4, cạnh bé dài 3. Lấy 6 điểm vào trong hình chữ nhật đó (có thể nằm trên cạnh). Chứng minh luôn tồn tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng bé hơn hoặc bằng $\sqrt{5}$

Cho các số thực dương thỏa $xyz=1$

Tìm Max của

$\sum \frac{1}{xy+x+2}$

Bên trong hình vuông có cạnh bằng 1 lấy 3 điểm phân biệt (có thể nằm trên cạnh hình vuông). Tìm vị trí của 3 điểm đó để tam giác tạo thành từ 3 điểm đó có diện tích lớn nhất, tính diện tích đó

có thể do đề bài bạn sai hoặc mình làm nhầm 

vậy chắc mình viết nhầm đề

Từ giả thiết ta có $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a+b+c}+ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=\frac{2}{a+b+c}+(a+b+c)^2$

Áp dụng AM GM ta có 

$\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+(a+b+c)^2\geq 3$

Do đó$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 1$

Min $ a^2+b^2+c^2=1$ tại 

 $a=b=0,c=1$ hoặc $a=c=0,b=1$ hoặc $c=b=0,a=1

cảm ơn bạn nhưng $a,b,c$ là số dương mà

Cho các số thực không âm thỏa $a^3+b^3+c^3-3abc=1$

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$

Mình không biết cách nào tối ưu nhưng bạn tham khảo cách này thử:

Dựng $\angle xOy=a+b$.

Trong $\angle xOy$, dựng tia Oz sao cho $\angle xOz=a$. khi đó $\angle yOz=b$.

Lấy điểm C bất kì thuộc tia Oz. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với Oz cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B.

Kẻ BD vuông góc với OA. Ta có $sinacosb+sinbcosa=\frac{AC}{OA}.\frac{OC}{OB}+\frac{BC}{OB}.\frac{OC}{OA}=\frac{OC.AB}{OA.OB}=\frac{2S_{OAB}}{OA.OB}=\frac{BD.OA}{OA.OB}=sin(a+b)$.

Còn 3 cái còn lại bạn có biết cách dựng ko ạ

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $H,I,O$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp. Sử dụng tam giác đồng dạng chứng minh $H,I,O$ thẳng hàng

Giúp em dựng hình sao tối ưu nhất để chứng minh công thức cộng lượng giác được không ạ, làm cái nào cũng nhưng cả 4 thì tốt hơn

$sin(a+b)=\sin a. \cos b + \cos a. \sin b$

$sin(a-b)=\sin a. \cos b - \cos a. \sin b$

$cos(a+b)=\cos a. \cos b - \sin a. \sin b$

$cos(a-b)=\cos a. \cos b + \sin a. \sin b$

Chứng minh rằng trong 2ⁿ⁺¹ - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn

Cho các số thực không âm thỏa $x^3+y^3+z^3=3$

Tìm GTLN của $3(xy+yz+zx)-xyz$

Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm nguyên được tô bởi hai màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng luôn tìm được vuông có đỉnh là các điểm nguyên đó sao cho có ít nhất 3 đỉnh cùng màu

Cho các số dương $a,b,c$

Tìm max $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Cho số thực x

Tìm GTNN của

$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x+1}$

Cho các số thực dương thỏa $a+b+c \geq 3$

Chứng minh $\sum \frac{a^2}{a+\sqrt{bc}} \geq \frac{3}{2}$

Cho các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm GTLN của 

$\sum \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}$

Không mất tính tổng quát, giả sử số điểm ở các vùng 1,2..7 có số điểm giảm dần (để không có hai vùng nào có số điểm bằng nhau)

Lúc này nếu vùng 4 có không ít hơn 15 điểm thì 3 vùng đầu cũng có không ít hơn 16+17+18=51 điểm (1)

Nếu vùng 4 có ít hơn hoặc bằng 14 điểm thì 4 vùng sau cũng có ít hơn hoặc bằng 14+13+12+11=50 điểm hay 3 vùng đầu có không ít hơn 100-50=50 điểm (2)

Từ (1) và (2) suy ra được luôn tồn tại 3 vùng chứa tổng cộng không ít hơn 50 điểm

tọa độ 1 điểm có thể thuộc 1 trong 4 trg hợp (chẵn,lẻ)(chẵn chẵn)(lẻ lẻ)(lẻ chẵn)

nều có 5 điểm thì có 2 điểm cùng loại.trung điểm của đoạn nối 2 điểm này là điểm nguyên và thuộc miền đa giác

Tạo sao trung điểm của hai đoạn nối hai điểm cùng tính chẵn lẻ lại là một điểm nguyên vậy ạ