Ta có: $\angle SNB=\angle SAX-\angle XAB=\frac{1}{2}\angle XAY-\angle NAB=\angle BAC-\angle NAB=\angle NAC$
Suy ra $AN$, $AS$ đẳng giác trong góc $A$ nên $AS$ đi qua tâm $Z$ của $(BOC)$ với $O$ là tâm $(ABC)$
Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$
Ta có:
$BS^{2}=\frac{BA^{2}}{2}+\frac{BZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$
$CS^{2}=\frac{CA^{2}}{2}+\frac{CZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$
$BN^{2}=\frac{BH^2}{2}+\frac{BO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$
$CN^{2}=\frac{CH^2}{2}+\frac{CO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$
Suy ra:
$(BS^2-BN^2)-(CS^2-CN^2)=(BA^2-BH^2)-(CA^2-CH^2)=0$
Áp dụng định lí 4 điểm ta có luôn $SN$ vuông góc $BC$ (dpcm)
Bạn ơi cho mình hỏi làm sao chứng minh $Z$ thuộc $(AXY)$ nhỉ