Chứng minh rằng : Với mỗi số nguyên dương $n$, luôn tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $\phi(m)=n!$

Tìm tất cả đa thức $P(x)$ hệ số nguyên sao cho với mọi số nguyên dương $x,y$ thì 

$x+y \mid P^{(x)}(y)-P^{(y)}(x)$, trong đó dãy $(P^{(k)}(x))_{k\geq 1}$ xác định như sau : $P^{(1)}(x)=P(x),P^{(k)}(x)=P\left ( P^{(k-1)}(x) \right ), k> 1$

Có tồn tại hay không các số nguyên dương phân biệt $k_1,k_2,..k_{2023}$ thỏa mãn với mọi $n> 2022$, thì tồn tại một số trong các số $k_1.2^{n}+1, k_2.2^{n}+1,...k_{2023}.2^{n}+1$ là số nguyên tố.

Cho hai dãy số $(x_n)$ và $(y_n)$ thỏa mãn $x_1=3$, $x_{n+1}=(x_{n}^{2}-2)^{2}-2$ và $y_{n}=\left ( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right )^{4^{n-1}}, n\geq 1$. Tính $lim(x_n.y_n)$

Gọi $a,b,c$ là các số nguyên dương $\geq 2$, đôi một nguyên tố cùng nhau 

Khi đó : $\left ( 2^{a}-1;2^{b}-1 \right )=\left ( 2^{b}-1;2^{c}-1 \right )=\left ( 2^{c}-1;2^{a}-1 \right )=1$

Theo định lí thặng dư Trung Hoa, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho : $\begin{cases} n \equiv 0(\mod 2^{a}-1)\\ n \equiv -1(\mod 2^{b}-1)\\ n \equiv -2 (\mod 2^{c}-1) \end{cases}$

Vậy tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cho tập $S$ là tập các số nguyên dương dương có ít nhất 1 ước dạng $2^{k}-1$ với $k\geq 2$. Hỏi có tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sao cho $n,n+1,n+2$ cùng thuộc $S$

Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb R\rightarrow \mathbb R$ thỏa mãn : 
$f(xy+f(y)).f(x)=x^{2}.f(y)+f(xy)$

Một số tự nhiên được gọi là số “đẹp” nếu nó có thể phân tích được thành tích của một số các số nguyên dương mà tổng của chúng bằng 2020. Hãy tìm số “đẹp” lớn nhất.

Cho tập hợp X có 2023 phần tử. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn hai tập hợp con khác nhau của X sao cho giao của hai tập hợp này là một tập hợp có đúng một phần tử ?

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) và D là một điểm di động trên cung nhỏ BC (D khác B và C). Gọi I,J lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh A của các tam giác ABD và ACD.

a) Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DIJ . Chứng minh rằng OT có độ dài không đổi khi D thay đổi trên cung nhỏ BC.

b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DIJ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cung nhỏ BC.

3/Tìm tất cả số nguyên dương $n$ để tồn tại duy nhất số nguyên dương $a$ sao cho : $n! \mid a^{n}-1$

4/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$, tồn tại số nguyên dương m sao cho : $n \mid 2^{m}+m$

5/ Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thỏa mãn : $\varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2)$

6/ Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a;n;p)$ trong đó $p$ là số nguyên tố thỏa mãn : 

$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$

Cho số nguyên dương $a$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $b>a$ sao cho : 

$1+2^{a}+3^{a}\mid 1+2^{b}+3^{b}$

Dễ thấy $m,n$ lẻ

Với $m=1 \Rightarrow n\in \left \{ 1;3 \right \}$. Ta có $3$ cặp $(1;1),(1;3),(3;1)$ thỏa mãn 
Xét $m,n\geq 3$, ta đặt: 

$m=\prod_{k=1}^{N}p_k^{a_k},n=\prod_{k=1}^{M}q_k^{b_k}$

Với $1\leq i\leq N,1\leq j\leq M$, ta có : 

$v_2(p_i-1)=\underset{1\leq k\leq N}{min} v_2(p_k-1)$

$v_2(q_j-1)=\underset{1\leq k\leq M}{min} v_2(q_k-1)$

Ta có : $m|2^{\varphi(n)}+1 \Rightarrow 2^{\varphi(n)}\equiv -1(\mod p_i^{a_i}) \Rightarrow 2^{2\varphi(n)}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

Đặt: $d_i=ord_{p_i^{a_i}}(2)$ thì ta được $d_i \nmid \varphi(n)$ và $d_i \mid 2\varphi(n)$

$\Rightarrow v_2(d_i)=v_2\left ( \varphi(n) \right )+1$

Lại có theo định lí Euler, ta thu được : $2^{\varphi(p_i^{a_i})}\equiv 1 (\mod p_i^{a_i})$

$\Rightarrow d_i \mid \varphi(p_i^{a_i})\Rightarrow d_i \mid p_i^{a_i -1}(p_i-1)$

$\Rightarrow v_2(d_i)\leq v_2(p_i -1)$

$\Rightarrow v_2(p_i -1)\geq 1+ v_2(\varphi(n))\geq 1+ v_2(q_j -1)$
Tương tự đối với $q_j^{b_j}$ ta có được $v_2(q_j -1)\geq 1+ v_2(p_i -1)$

Từ hai điều trên, ta suy ra điều mâu thuẫn. Như vậy, không tồn tại các giá trị $m,n\geq 3$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có ba đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm BC và AH. NO cắt (BOC) tại K khác O, (BOC) cắt (DEF) tại X và Y. Tia MH cắt (O) tại T. CMR TK,MN và XY đồng quy.

1/Tìm tất cả các số nguyên dương $(m;n)$ sao cho: $m\mid 2^{\varphi (n)}+1$ và $n\mid 2^{\varphi (m)}+1$

a) Giả sử $\exists$ $\varphi (x)=2p$

Ta cần đi chứng minh $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

Ta có : $a+b> 2$ và $a+b\mid a^{2n-1}+b^{2n-1}$
Xét $x=2^{k}.q \ [k\geq 2; (2;q)=1]$

$\varphi (x)=\varphi (2^{k}).\varphi \left ( q \right )=2^{k-1}.\varphi \left ( q \right )\vdots 4$ ( vô lí vì $2p\equiv 2 (\mod4)$

$\Rightarrow k\in \left \{ 0;1 \right \}$

Vì $\varphi (2q)=\varphi (q)$ nên ta chỉ cần xét $x=u$ (với $u$ lẻ ) 

Trường hợp 1 : $u=p_1.p_2...p_k$ với $p_1,p_2,..,p_k$ là các số nguyên tố lẻ phân biệt 
$\varphi (u)=\varphi (p_1).\varphi (p_2)...\varphi (p_k) \vdots 4$ ( vô lí )

Trường hợp 2 : $u=r^{t}$ với $t\geq 2$ và $r$ là số nguyên tố lẻ 

$\varphi (u)=r^{t-1}(r-1)=2p$ $\Rightarrow r=3,p=3$ (vô lí vì $p> 3$)

$\Rightarrow u=q$ với $q$ là 1 số nguyên tố lẻ 
Vậy $x=q$ hoặc $x=2q$ với $q$ là số nguyên tố lẻ.

$\Rightarrow \varphi (x)=\varphi (q)=\varphi (2q)=q-1=2p$ 

$\Rightarrow x=2p+1$ hoặc $x=2(2p+1)$

$(a+b)\mid (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ $\Rightarrow (a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$ hoặc $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=q$, kết hợp $a+b> 2$ $\Rightarrow a+b=q=2p+1$

Nếu $(a+b)k=a^{2n-1}+b^{2n-1}=2q$, kết hợp $a+b> 2 \Rightarrow a+b=q=2p+1$ hoặc $a+b=2q=2(2p+1)$

Ta có điều phải chứng minh 

b) Với một số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a^{n}+b^{n}\mid a^{k}-b^{k}$ thì $k$ nhỏ nhất thỏa mãn là $2n$ và nếu $a^{n}+b^{n}\mid a^{l}-b^{l}$ thì $2n\mid l$

Vì $(a;a^{n}+b^{n})=(b;a^{n}+b^{n})=1$ nên theo định lí $Euler$, ta có : 
$a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$ và $b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}\equiv 1 (\mod a^{n}+b^{n})$

$a^{n}+b^{n}\mid a^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )}-b^{\varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )} \Rightarrow 2n\mid \varphi \left ( a^{n}+b^{n} \right )$

$2(2n-1)\mid \varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$

$2^{k}.1.3.5...(2k-1)\mid \Rightarrow \prod_{i=1}^{k}u_i$

$\Rightarrow \frac{(2k)!}{(k)!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$

Với các số nguyên $a,b$ nguyên tố cùng nhau, $a> b> 1$, ta xét dãy số sau: 

$u_n=\varphi (a^{2n-1}+b^{2n-1})$ với $n=1,2,3,...$ 

1. Chứng minh rằng nếu $p> 3$ là số nguyên tố lẻ và có số hạng nào đó của dãy trên bằng $2p$ thì $a+b=2p+1$ hoặc $a+b=2(2p+1)$

2. Chứng minh rằng $\frac{\left ( 2k \right )!}{k!}\mid \prod_{i=1}^{k}u_i$

chỉnh đề lại thành $\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}\leq 3$ mới đúng nhé bạn

$1/$ Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện : 

$a|b^{2},b^{3}|a^{4}, a^{5}|b^{6}, b^{7}|a^{8},...$.Chứng minh rằng$:a=b$

$2/$ Tồn tại hay không bộ ba số nguyên tố $(p;q;r)$ sao cho $\left ( p^{2}-7 \right )\left ( q^{2}-7 \right )\left ( r^{2} -7\right )$ là 1 số chính phương

Bài toán 45 : 
Cho $\Delta ABC$ nhọn có trực tâm $H$, đường tròn tâm $I$ qua $B,C$ và cắt $HB,HC$ lần lượt tại $E,F$. Các đường tròn $(HBF),(HCE)$ cắt nhau tại $D$ . $(J)$ là đường tròn qua $E,F$ và trung điểm $BC$ cắt $HB,HC,FB,EC$ lần lượt tại $M,N,P,Q$. Gọi $U,V$ là tâm các đường tròn $(DMP),(DNQ)$.

CMR $ID//UV$

Bài ni 1 thằng bạn hỏi a mà a lúc đó a chưa làm đc nên đăng lên đây để thảo luận thôi

Cho dãy số thực $(u_n)$, $n\in N^{*}$ xác định bởi $u_1=1; u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2u_n} , n\in N^{*}$. Tính $lim \frac{u_n}{\sqrt{n}}$ và tìm $[u_{2023}]$ 

Cho dãy số thực dương $(x_n),n\geqslant 1$ thỏa mãn : $\sum_{i=1}^{n+1}x_i < 4x_n$ với mọi $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{n}x_i \leqslant x_{n+1}$ với mọi n nguyên dương 

Cho hai dãy số $(x_n),(y_n)$ xác định bởi $x_1=0, y_1=1$ và $x_{n+1}=x_n +\frac{1}{y_n}; y_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{x_{n+1}^{2}+1}}, n\geq 1$. Đặt $u_n=x_n.y_n, n\geqslant 1$. Tính $lim\sqrt[n]{\sum_{i=1}^{n}u_i^{n}}$

Cho tập $X=\{1;2;3;\ldots ;3000\}$. Có tồn tại hay không 1 tập $A$ có 2000 phần tử và với mỗi $x\in A \Rightarrow 2x\notin A$ ?