$S=\left \{ 1;2;...;2016 \right \}$ Tìm k nhỏ nhất thỏa mãn mọi tập hợp con k phần tử của S luôn tồn tại a và b sao cho $ab \vdots (a+b)$
hoaichung01 nội dung
Có 57 mục bởi hoaichung01 (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#675282 Tìm K nhỏ nhất
Đã gửi bởi hoaichung01 on 25-03-2017 - 15:42 trong Tổ hợp và rời rạc
#667503 Đề cử Thành viên nổi bật 2016
Đã gửi bởi hoaichung01 on 07-01-2017 - 20:32 trong Thông báo tổng quan
1) Tên nick ứng viên : I Love MC , baopbc , bangbang1412, Zaraki .
2) Thành tích nổi bật : luôn tích cực tham gia thảo luận cho TOPIC diễn đàn
3) Ghi chú : ko có
#667060 Chứng minh A,F,I thẳng hàng
Đã gửi bởi hoaichung01 on 05-01-2017 - 12:23 trong Hình học
Tam giác ABC nhọn nội tiếp (O).M trung điểm BC.Trung trực AB,AC cắt AM tại D và E.BD cắt CE tại F.Một Đường tròn (w) qua B và C cắt AB,AC tại H,K.I trung điểm HK.CHứng minh A,F,I thẳng hàng
Chứng minh AF là đường đối trung của tam giác ABC
#666988 Chứng minh EP=FQ
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-01-2017 - 22:02 trong Hình học
bạn trình bày lời giải ra dùm mình câu a thôi có được ko
Chứng minh $\angle ACI+\angle ABI =\angle EIF$ là đc bài này chỉ đúng với trường hợp MN đi qua I thôi
#666986 Chứng minh: $PQ$ đi qua $E$.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-01-2017 - 21:54 trong Hình học
mình không hiểu chỗ này lắm
1, Chỗ này mình nghĩ phải là E'H.E'A
2. 1/2.E'H.E'A=E'M.E'A tương đương 1/2 E'H= E'M tức là E trùng E' rồi còn đâu???
sorry bn mình đã sửa
#666922 CMR: $\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-01-2017 - 15:54 trong Bất đẳng thức - Cực trị
Cho $x,y,z$ không âm thỏa mãn: $2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2$.
Chứng minh rằng:
$\frac{x+y+z}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$
Ta có $\left ( x+y+x \right )^{2}\geq 4(xy+yz+zx)$ (*)
Giả sử $x\equiv max \left \{ x,y,z \right \}$
(*) $\Leftrightarrow \left ( x+y \right )^{2}-2z(x+y)+z^{2}-4xy \geq 0$
$\Leftrightarrow \left ( x+y-z-2\sqrt{xy} \right )\left ( x+y-z+2\sqrt{xy} \right )\geq 0\Rightarrow x+y\geq z+2\sqrt{xy}$
$\Rightarrow \frac{x+y+z}{3}\geq \frac{2z+2\sqrt{xy}}{3}\geq \frac{2z+\sqrt{xy}+\sqrt{xy}}{3}\geq \sqrt[3]{2xyz}$
=> ...
#666897 Chứng minh: $PQ$ đi qua $E$.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-01-2017 - 09:50 trong Hình học
Chưa hiểu chỗ $(AHET)=-1$ (mình học hình kém,mong bạn thông cảm )
Vẽ đường cao BF . Khi đó : AH.AD=AF.AC=AT.AE mà D là trung điểm ET => ...
#666876 Chứng minh: $PQ$ đi qua $E$.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 03-01-2017 - 22:36 trong Hình học
Cho tam giác $ABC$ nhọn, trực tâm $H$.$AH\cap BC\equiv D$. $E$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $\widehat{BEC}=90^{0}$. $M$ là trung điểm $EH$.Đường tròn đường kính $AM$ cắt đường tròn $Euler$ của tam giác $ABC$ tại $P,Q$.Chứng minh: $PQ$ đi qua $E$.
Gọi T là giao điểm của AH với đường tròn đường kính BC .N trung điểm AH
Dễ thấy (AHET) = -1 => EN.ET =EA.EH =>EN.ED=1/2.EA.EH=EA.EM
Gọi E' là gđ của PQ với AH => E'M.E'A=E'P.E'Q=E'N.E'D
=> E=E'
#666869 Chứng minh LM,EF , BC đồng quy
Đã gửi bởi hoaichung01 on 03-01-2017 - 22:13 trong Hình học
Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC tx BC , CA , AB tại D, E,F. AD giao (I) tại P , tiếp tuyến tại P cắt CA , AB tại Q , R . G là một điểm nằm trên AD . QG , RG cắt (I) tại L, M . Chứng minh LM , EF , BC đồng quy
#666659 Chứng minh AD vuông góc với ST
Đã gửi bởi hoaichung01 on 02-01-2017 - 17:16 trong Hình học
Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I) , IB , IC cắt (O) tại M,N . P,Q thuộc tia đối của BC , CB sao cho BP=BA , CQ=CA .K, L lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp NBP , MCQ .BL cắt CK tại D . Đường tròn bàng tiếp góc A cắt (O) tại S , T . Chứng minh AD vuông góc ST
#655478 CMR: $6(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 18abc...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 25-09-2016 - 12:57 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng:
$6(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 18abc+(\sum \sqrt[3]{a(b-c)^{2}})^{2}$
#654664 MAX: $P=\frac{1}{9-ab}+\frac{1}...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 18-09-2016 - 16:48 trong Bất đẳng thức và cực trị
ta cần chứng minh $\sum \frac{1}{9-ab}\leq \frac{3}{8}$$\Leftrightarrow 8(243-18p+3r)\leq 3(729-81q+27r-r^{2})$$\Leftrightarrow 243-99q+57r-3r^{2}\geq 0$
với $p=a+b+c ; q=ab+bc+ca ; r=abc$
$3=3(\frac{a+b+c}{3})^{6}\geq 3(abc)^{2}\Rightarrow 1\geq r^{2}$
theo BĐT schur $r\geq \frac{p(4q-p^{2})}{3}\Rightarrow 57r\geq 19(4q-9)$
nên ta cần cm $72-23q-3r^{2}\geq 0\Leftrightarrow 3(1-r^{2})+23(3-q)\geq 0$ luôn đúng
ta có bài tổng quát $a,b,c \geq 0, a+b+c=3 , k\geq 6$
$\sum \frac{1}{k-ab}\leq \frac{3}{k-1}$
#653597 Cho hai đường tròn $ (O_1), (O_2) $ tiếp xúc ngoài với nhau và cùng...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 10-09-2016 - 17:53 trong Hình học phẳng
ta có tứ giác $M_{1}M_{2}N_{2}N_{1}$nội tiếp=>$AN_{1}.AM_{1}=AN_{2}.AM_{2}$
dễ dàng cm $AC^{2}=AN_{1}.AM_{1}$
$AB^{2}=AN_{2}.AM_{2}$=>đpcm
#653504 f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y)
Đã gửi bởi hoaichung01 on 09-09-2016 - 21:55 trong Phương trình hàm
$f:R\rightarrow R$
$f(x-f(y))=f(x)+xf(y)+f(f(y))$ $\forall x,y\in R$
#651379 $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 26-08-2016 - 20:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
chuẩn hóa bất đẳng thức ta có ab+bc+ca =3
$a+b+c\geq 3 và abc\leq 1
mà (a+b)(b+c)(c+a)=(ab+bc+ca)(a+c+b)-abc=3(a+b+c)-abc\geq 8$ => đpcm
#651289 cho $\Delta$ ABC ;I và G là tâm nội tiếp và trọng tâm.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 25-08-2016 - 22:36 trong Hình học phẳng
cho $\Delta$ ABC ;I và G là tâm nội tiếp và trọng tâm.
đường tròn bàng tiếp $(I_{a});\left ( I_{b} \right );\left ( I_{c} \right )$ tiếp xúc với BC;CA;AB tại M;N;P.
chứng minh:AM;BN;CP đồng quy tại 1 điểm thuộc IG.
Chứng minh đc
$(p-b)\underset{MB}{\rightarrow}+(p-c)\underset{MC}{\rightarrow}=(p-c)\underset{NC}{\rightarrow}+(p-a)\underset{NA}{\rightarrow}=(p-a)\underset{PA}{\rightarrow}+(p-b)\underset{PB}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$
=> 3 đg đồng quy tại điểm K thỏa mãn
$(p-a)\underset{KA}{\rightarrow}+(p-b)\underset{KB}{\rightarrow}+(p-c)\underset{KC}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$
$\Rightarrow p(\underset{KB}{\rightarrow}+\underset{KA}{\rightarrow}+\underset{KC}{\rightarrow})-(a+b+c)\underset{KI}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$
$3p\underset{KG}{\rightarrow}-2p\underset{KI}{\rightarrow}=\underset{0}{\rightarrow}$
=> K thuộc IG
#650170 Chứng minh M,L,K thẳng hàng
Đã gửi bởi hoaichung01 on 17-08-2016 - 23:43 trong Hình học phẳng
Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I , (I) tiếp xúc với BC , CA , AB tại D, E, F . P, Q , R lần lượt là điểm đối xứng với D, E, F qua EF, FD, DE. AP , QB,CR cắt BC,AC, AB tại M , K , L
Chứng minh M, K , L thẳng hàng
#646985 Chứng minh I, E , F thẳng hàng
Đã gửi bởi hoaichung01 on 29-07-2016 - 08:53 trong Hình học phẳng
Cho tam giác ABC có BAC =60 I là tâm đường tròn nội tiếp . Trên các tia BA , CA lấy E, F sao cho BE=CF=BC . Chứng minh I, E . F thẳng hàng
#646794 $(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 27-07-2016 - 20:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có:
$f(a,b,c)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)$
Suy ra $f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2]$
Không mất tính tổng quát giả sử $a=max$ . Ta có:
$f(a,b+c,0)- f(a,b,c)=bc[bc(2a^2-b^2-c^2)+ 4a^2b^2+4a^2c^2+2a^4+2a^2bc] \geq 0$
(do $a=max$ và $a,b,c \geq 0$)
Mặt khác theo Cauchy
$f(a,b+c,0)=a^2(b+c)^2[a^2+(b+c)^2] =\frac{1}{2}.2a(b+c)[a^2+(b+c)^2]. a(b+c) \leq \frac{1}{2} \frac{(a+b+c)^4}{4} . \frac{(a+b+c)^2}{4} =\frac{1}{32}$
(Do $a+b+c=1$)
Vậy $f(a,b,c) \leq f(a,b+c,0) \leq \frac{1}{32}$
Đây chính là điều phải chứng minh
Dấu $=$ xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng $\frac{1}{2}$
phương pháp gì đây bn ?
#644461 MAX: $T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 11-07-2016 - 09:17 trong Bất đẳng thức và cực trị
Cho a,b,c dương. Tìm GTLN của:
$T=\frac{a(b+c)}{(b+c)^2+a^2}+\frac{b(c+a)}{(c+a)^2+b^2}+\frac{c(a+b)}{(a+b)^2+c^2}$
đây là dạng BĐT đối xứng thuần nhất nên ta giả sử a+b+c=1
Ta có $1-2a+2a^{2}=1-2a(1-a)\geq 1-\frac{(a+1)^{2}}{4}=\frac{(1-a)(3+a)}{4}\Rightarrow \frac{a(1-a)}{1-2a+2a^{2}}\leq \frac{4a}{3+a}=4-\frac{12}{a+3}$
$\frac{b(1-b)}{1-2b+2b^{2}}\leq 4-\frac{12}{3+b}$
$T\leq 12-12(\frac{1}{3+a}+\frac{1}{3+b}+\frac{1}{3+c})\leq \frac{6}{5}$
#643846 Cho tam giác ABC. Phân giác trong AI. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I l...
Đã gửi bởi hoaichung01 on 06-07-2016 - 15:23 trong Hình học
kẻ AD vuông góc BC
Ta có :$\frac{BI}{BA}=\frac{CI}{CA}$
Mà $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta IBH$=>$\frac{BD}{BH}=\frac{AB}{IB}$
TƯƠNG TỰ $\frac{KC}{DC}=\frac{IC}{AC}$
=>$\frac{BD}{BH}=\frac{DC}{KC}\Leftrightarrow \frac{BH}{KC}=\frac{BD}{CD}$}
=>$\frac{BH}{AH}.\frac{AK}{KC}.\frac{CD}{BD}=1$
=> AD, CH , BK đồng quy tại một điểm M
=> AM vuông góc BC
#643843 Chứng minh rằng $DN⊥MH.$
Đã gửi bởi hoaichung01 on 06-07-2016 - 15:03 trong Hình học
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $H$. Gọi $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AB$ và $N$ là trung điểm của $HC$. Chứng minh rằng $DN⊥MH.$
gọi E ,F lần lượt là trung điểm của HB , MB
=> AM = MF = FB = $\frac{1}{3 }$AB
K,G lần lượt là giao điểm của MH với DN và AE
$\Delta AHB$ đồng dạng $\Delta DHC$ => $\frac{AH}{HB}=\frac{DH}{HC}\Rightarrow \frac{AH}{2HE}=\frac{DH}{2HN}\Rightarrow \frac{AH}{HE}=\frac{DH}{HN}$
=>$\Delta AHE$ đồng dạng $\Delta DHN$=> $\angle NDH =\angle EAH$
Ta có : HM//EF ; AG=GE ;
$\Rightarrow \Delta AHG$ cân tại G => $\angle AHG =\angle EAG$
Ta có : $\angle KDH +\angle DHK= \angle EAH +\angle DHK=\angle AHG+\angle DHK=90$
=> $\Delta DHK$ vuông góc tại K
=> đpcm
#643636 Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-07-2016 - 16:10 trong Đại số
Cho phân số A=$\frac{m^3+3m^2+2m+5}{m(m+1)(m+2)+6}$;(m thuộc N)
a)Chứng minh rằng A là phân số tối giản.
b)Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Vì sao?
A=$\frac{m^{3}+3m^{2}+2m+5}{m^{3}+3m^{2}+2m+6}$
mẫu và tử là hai số liên tiêp nên nguyên tố cùng nhau nên A tối giản
#643631 Chứng minh $3$ điểm $C,E,N$ thẳng hàng.
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-07-2016 - 15:53 trong Hình học
Cho đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB.$ Qua $B$ kẻ tiếp tuyến $d$ của đường tròn $(O).MN$ là một đường kính thay đổi của đường tròn $(M$ không trùng với $A,B).$ Các đường thẳng $AM$ và $AN$ cắt đường thẳng $d$ lần lượt tại $C$ và $D.$ Gọi $I$ là giao điểm của $CO$ và $BM.$ Đường thẳng $AI$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,$ cắt đường thẳng $d$ tại $F.$ Chứng minh $3$ điểm $C,E,N$ thẳng hàng.
Ta có CO, BM, AF đồng quy tại I trong tam giác ABC nên theo định lí Ceva ta có :
$\frac{AM}{MC}.\frac{CF}{FB}.\frac{BO}{AO}=1$ Mà BO=AO $\Rightarrow \frac{AM}{MC}=\frac{BF}{CF}$=>MF//BA
dễ dàng chứng minh đc tứ giác MEFC nội tiếp => $\angle MEC=\angle CFM=90$
MÀ MEN =90 => C,E,N thẳng hàng
#643625 Tìm min ,max các nghiệm của phương trình bậc hai
Đã gửi bởi hoaichung01 on 04-07-2016 - 15:26 trong Đại số
Tìm min , max của các nghiệm của phương trình sau
$x^{2}-mx+m^{2}-5=0$
- Diễn đàn Toán học
- → hoaichung01 nội dung