Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G(1;\,2),$ trực tâm $H\left(-\dfrac{16}{27};\,\dfrac{23}{9}\right),\,(BC):x-6y+4=0,$ trung điểm $K\left(-\dfrac{5}{2};\,\dfrac{5}{2}\right)$ là trung điểm của $AB.$ Viết phương trình $AB$ và $AC.$

Cho $\Delta ABC$ có $B(2;\,0),\,C(-3;\,5),$ trọng tâm $G\in(d):2x+y-1=0$ và $S_{ABC}=\dfrac{5}{2}.$ Tìm tọa độ điểm $A.$

Cho $\Delta ABC$ đều nội tiếp trong đường tròn $(C):x^2+y^2-4y-4=0,$ trung điểm $M$ của $AB$ thuộc $(d):2x-y-1=0.$ Viết phương trình $AB$ và tìm tọa độ điểm $C.$

Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là $\Delta ABC$ đều cạnh $a.$ Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của $AB,\,(A'BC)$ tạo với $(ABC)$ góc $60^o.$ Tính thể tích lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách từ $AA'$ đến $B'C.$

Trong mặt phẳng $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có $B(3;\,1),\,I(0;\,1)\in AC,$ phân giác trong $(AD):x-y=0,\,S_{ABC}=6.$ Tìm tọa độ $A,\,C.$

Cho đồ thị hàm số $y=\dfrac{x+1}{2x-1}\,(C).$ Viết phương trình tiếp tuyến $(d)$ với $(C)$ biết $(d)$ cắt $Ox,\,Oy$ tại $A,\,B$ sao cho $AB=\sqrt{10}OA.$

Giải phương trình:$$\sqrt{3}\cos2x+\sin2x-\left(4+\sqrt{3}\right)\cos x-\sin x+2+\sqrt{3}=0$$

Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x^2y^2z^2+\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge x+y+z+xy+yz+zx+3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}+\dfrac{y^3}{\left(z+2x\right)\left(2x+3y\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+2y\right)\left(2y+3z\right)}$$

Tính tích phân:$$I=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{x\left(\sqrt{4-x^4}+2x\right)}{\sqrt{2-x^2}}dx$$

Tìm $m$ sao cho $y=-x^3+3mx^2-3\left(m-1\right)x+m^3$ có hai điểm cực $A,\,B$ sao cho khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $\dfrac{1}{\sqrt{5}}.$

Tìm $m$ sao cho tiếp tuyến với $y=\dfrac{2mx+3}{x-m}$ cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng $64.$

Cho đồ thị hàm số $y=x^3+3x^2-4\,\,(C).$ Gọi $A,\,B$ là hai điểm thuộc $(C)$ thỏa mãn tiếp tuyến tại $A$ song song tiếp tuyến tại $B.$ Chứng minh trung điểm $I$ của $AB$ cũng thuộc $(C).$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có phân giác trong của $\widehat{A}:x-3y+5=0,$ trọng tâm $G\left(-\frac{2}{3};\,-\frac{5}{3}\right),\,M(4;\,-1)\in AB,\,N(0;\,-5)\in AC.$ Tìm tọa độ các đỉnh $\Delta ABC.$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H(1;\,-1),$ điểm $M(-1;\,2)$ là trung điểm của cạnh $AC.$ Cạnh $BC$ có phương trình là: $2x-y+1=0.$ Xác định tọa độ các đỉnh của $\Delta ABC$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $\Delta ABC$ có đỉnh $A(-1;\,1),$ trực tâm $H(-31;\,41),$ tâm đường tròn ngoại tiếp $I(16;\,-18).$ Tìm tọa độ các đỉnh $B,\,C.$

Giải phương trình: $$\left(9^x-2\times3^x-3\right)\log_3\left(x-1\right)+\log_{\frac{1}{3}}27=\dfrac{2}{3}\times9^{\frac{x+1}{x}}-9^x$$

Giải hệ phương trình:$$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{1+\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{1+\sqrt{y+1}}= \dfrac{2}{3}\\ \sqrt{x+\dfrac{y}{x}}+\sqrt{y+\dfrac{x}{y}}=\dfrac {2\sqrt{x}\sqrt{y}}{3} +2\end{array} \right.$$
 

Cho đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2\,\,(C).$ Gọi $A,\,B$ là hai điểm cực. Tìm tọa độ $M\in(\Delta):y=3x-2$ để $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|\,min.$

Tìm $m$ để $y=x^3-3x+1\,\,(C)$ cắt $(d):y=mx+1$ tại ba điểm $A,\,B,\,C$ phân biệt và $x_A,\,x_B\ne 0.$ Gọi $D$ là điểm cực tiểu của $(C).$ Tìm $m$ để $\Delta ABD$ vuông tại $D.$

Tìm $m$ để $y=-x^3+3x^2-2\,\,(C)$ cắt $(d):y=m\left(2-x\right)+2$ tại ba điểm $A,\,B,\,C$ phân biệt sao cho $k_Bk_C\,\text{min},$ với $x_A=2,\,k_B,\,k_C$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại $B,\,C$

Giải bất phương trình:$$\sqrt{x-\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{x}>1+\sqrt{1-\dfrac{1}{x}}$$

Cho $a,\,b,\,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc\left(a+b+c\right)=4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P=\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}-\dfrac{8bc}{bc\left(b^2+c^2\right)+8}$$

Giải hệ phương trình:$$\left\{ \begin{array}{l}4y^3-\sqrt{2x^3-x^2}=3\sqrt{2x-1}-7y\\4y^2+\left(3-x\right)^2+2\sqrt{3-4y}=7 \end{array} \right.$$

Cho hai số thực dương $x,\,y$ thỏa $x+y=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P=\dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{x^2+1}}$$