Giải hệ phương trình

 

$\left\{\begin{array}{l}x^4+y^2 = \frac{697}{81}\\x^2+y^2+xy-3x-4y+4=0 \end{array}\right.$

Tham khảo thêm bài này.

Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

\[x + \sqrt {4 - {x^2}}  = m + x\sqrt {4 - {x^2}} \]

Gợi ý:

 

Điều kiện: ${x^2} \le 4 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;2} \right]$

 

Đặt $t = x + \sqrt {4 - {x^2}} $. Từ điều kiện của $x$ suy ra điều kiện của $t$ (bạn tự làm nhé, có thể dùng khảo sát hàm,...)

 

Khi đó: \[{t^2} = {x^2} + 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 - {x^2} = 2x\sqrt {4 - {x^2}}  + 4 \Rightarrow x\sqrt {4 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 4}}{2}\]

Phương trình đã cho trở thành: \[t = m + \frac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow 2t = 2m + {t^2} - 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 4 = 0\,\,\,\left( * \right)\]

Đến đây tìm $m$ để phương trình $\left( * \right)$ có ... nghiệm (kết hợp điều kiện để suy ra số nghiệm của $t$). Từ đó suy ra $m$.

Cho mình hỏi BĐH, trước đây, khi vào BOX Toán THCS-Bất đẳng thức và cực trị, mình thường đọc hai bài viết. Đó là;

- Topic BĐT THCS

- Topic BĐT THCS [ 2 ] - máy nhà mình phím shift hư nên ko gõ dc ngoặc tròn

Nhưng khoảng 2 tuần trở lại đây, khi vào box trên mình ko thấy bài viết Topic BĐT THCS đâu nữa, chỉ thấy bài Topic BĐT THCS [ 2 ] thôi.

Cho mình hỏi các MOD là bài viết kia còn hay đã bị xóa, nếu còn thì tại sao mình ko thấy dc bài viết đó

Xin chân thành cảm ơn

Trả lời: Topic BĐT, cực trị THCS mà bạn muốn nói đã bị ẩn bởi Jinbe

Tìm m để phương trình $x^4+bx^3+x^2+bx+1$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt

 

đầu bài sai rồi thì phải tìm b chứ nhỉ?

 

Bài này có 2 chỗ nhầm hơi vô duyên.

 

ER1: Đề bài cho không phải là phương trình mà là đa thức.

Phải là: \[{x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0\]

ER2: Như bạn đã nói, đề cho là $b$, nhưng bảo tìm $m$.

 

Với đề bài: Tìm $b$ để phương trình ${x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.

 

Hướng dẫn:

Bước 1: Nhận thấy $x \ne 0$. Chia 2 vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0 $ ta được:

\[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Bước 2: Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, tìm điều kiện cho $t$ thoả mãn $x$ đầu bài.

Bưóc 3: Khi đó ta có phương trình: ${t^2} + bt - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Bước 4: Tìm $b$ để phương trình $(2)$ có nghiệm $t$ thoả mãn điều kiện đã tìm.

Cảm ơn bạn.Cái bất đẳng thức Bunhiacopski này có được sử dụng thẳng trong thi đại học không hay phải chứng minh lại nhỉ?

 

Nếu bạn đang học lớp 12 và đang ôn thi Đại học thì chúng ta có một cách khá là đơn giản là dùng phương pháp lượng giác hóa.

 

Nhận xét rằng x, y là các số thực bất kỳ thỏa mãn $x^2+y^2=1$ nên ta đặt $\left\{\begin{matrix} x=\cos \varphi \\ y=\sin \varphi \end{matrix}\right.,\varphi \in \left [ 0;2\pi \right ]$

 

bạn có thể làm cụ thể cách biến   đổi P về cái biểu thức đó được không.

Nếu bạn có thời gian thì làm cả bài cụ thể cho mình luôn nhé

 

Chắc bạn ấy làm thế này.

 

Nhân cả tử và mẫu của $P$ với $2$: $P = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{2 + 4xy + 4{y^2}}}$

 

 

Thay $2 = {x^2} + {y^2}$ vào $P$ ta được: $P = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{4\left( {{x^2} + 6xy} \right)}}{{{x^2} + 5{y^2} + 4xy}}$.

Giải PT: $(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)=420x^2$

 

Chào các em. Bài này thuộc dạng cơ bản có thể giải dễ dàng bằng phương pháp nhóm rồi đặt ẩn phụ trong họ bài toán giải phương trình bậc 4.

 

Anh có nhận xét thế này: 2 lời giải trên đã đi đúng hướng (kết quả anh không kiểm tra có dúng không) nhưng nếu các bạn tính toán không sai thì chắc là ok :-).

 

Lời giải 1: Em đã cẩn thận khi nhận ra $x \ne 0$. Có bước này mới suy ra được bước 2. Em phân tích đúng nhưng đến đoạn đặt ẩn phụ thì em làm chưa tốt lắm. Trong tính toán thì các em không nên chọn các số thập phân như trên (nên hạn chế), chọn như vậy sẽ làm cho phần tính toán có thể không được "trôi chảy" cho lắm.

\[\left( {x + \frac{{12}}{x} + 8} \right)\left( {x + \frac{{12}}{x} + 7} \right) = 420\]

Đến đây nếu em tinh tế thêm xí thì có thể nhận ra ngay ẩn phụ cần đặt là gì để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn, ý anh nói ở đây là đơn giản trong hình thức, chứ bản chất bài toán sẽ không thay đổi đâu.

 

Giải pháp: Đặt $t = x + \frac{{12}}{x} + 7$ hoặc $t = x + \frac{{12}}{x} + 8$. Khi đó ta sẽ có phương trình: $\left( {t + 1} \right)t = 420 \Rightarrow {t^2} + t - 420 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ hoặc  $t\left( {t - 1} \right) = 420 \Rightarrow {t^2} - t - 420 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$.

 

Hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ đều có nghiệm đẹp và chúng ta hoàn toàn có thể đoán nghiệm nó. Rất đơn giản đúng không nào!

 

Lời giải 2: Em đã phần nào tự làm khó mình khi đặt ẩn như vậy, nhìn nó sao sao ý :-). Em nên tham khảo cách phân tích của lời giải đầu kết hợp một số nhận xét "ngu" của anh nhé.

 

Nhân dịp năm mới gần đến, anh cũng chúc các em sức khỏe, học tập tốt.

1/CMR nếu A là ma trận vuông thỏa $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$
2/ Cm:$\begin{vmatrix} b+c &c+a &a+b \\ b'+c'&c'+a' &a'+b' \\b''+c'' &c''+a'' &a''+b'' \end{vmatrix}=2.\begin{vmatrix} a &b &c \\a' &b' &c' \\a'' &b'' &c'' \end{vmatrix}$

Bài 1: Trước hết ta phải chứng tỏ $A$ có ma trận ngịch đảo.

Thật vậy, đẳng thức đã cho được biết lại: $I = 3A - {A^2} = A\left( {3I - A} \right)$

Do đó: $\det A\det \left( {3I - A} \right) = \det I = 1 \Rightarrow \det A \ne 0$ điều này chứng tỏ tồn tại ma trận nghịch đảo của $A$.

Mặt khác: $I = A\left( {3I - A} \right) \Rightarrow {A^{ - 1}}I = {A^{ - 1}}A\left( {3I - A} \right) \Rightarrow {A^{ - 1}} = 3I - A$ (đpcm)

1/CMR nếu A là ma trận vuông thỏa $A^{2}-3A+I=0$ thì $A^{-1}=3I-A$
2/ Cm:$\begin{vmatrix} b+c &c+a &a+b \\ b'+c'&c'+a' &a'+b' \\b''+c'' &c''+a'' &a''+b'' \end{vmatrix}=2.\begin{vmatrix} a &b &c \\a' &b' &c' \\a'' &b'' &c'' \end{vmatrix}$

Bài 2: Dùng các phép biến đổi cơ bản ta làm như sau:

Nhân cột 1 với (-1), nhân cột 2 với 1, cộng cột 3 và 2 vào cột 1, ta được:

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2a}&{c + a}&{a + b}\\{2a'}&{c' + a'}&{a' + b'}\\{2a''}&{c'' + a''}&{a'' + b''}\end{array}} \right| = 2\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{c + a}&{a + b}\\{a'}&{c' + a'}&{a' + b'}\\{a''}&{c'' + a''}&{a'' + b''}\end{array}} \right|\]

Bạn thử cho các cột còn lại.

Nghĩa là chứng tỏ A khả đảo đúng ko bạn?  

Đúng rồi đó. Chứng minh $A$ khả nghịch (khả đảo) tức là chứng minh $A$ không suy biến (định thức khác 0).

Bạn /anh cho mình hỏi đáp số là $\frac{n+1}{x^{n}}$ phải không

Đáp số: $\boxed{{D_n} = \dfrac{{n + 1}}{{{x^n}}}}$

 

Cụ thể:

Phương trình sai phân có nghiệm kép $k = \frac{1}{x}$ do đó ${D_n}$ có dạng tổng quát:

\[{D_n} = \left( {{C_1} + n{C_2}} \right){\left( {\frac{1}{x}} \right)^n}\]

Hai hằng số ${C_1},{C_2}$ được xác định dựa vào điều kiện ban đầu. Tính trực tiếp ${D_1},{D_2}$ ta được:

Tính định thức

$D_{n}=\begin{vmatrix} \frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &0 &\cdots &0 &0 \\ 1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &0 &\cdots &0 &0 \\ 0 &1 &\frac{2}{x} &\frac{1}{x^{2}} &\cdots &0 &0 \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ 0 &0 &0 &0 &\cdots &1 &\frac{2}{x} \end{vmatrix}$

Với $x \ne 0$, khai triển định thức theo dòng (1):

Ba

 

Bạn gõ lại cho rõ hơn đi được không ?

Đề đã rõ rồi đó bạn. Cùng thảo luận nhé.

\[\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

 

Chào bạn,

 

Lý do để sách đưa ra lời giải như vậy là dựa vào tính chất của tích phân xác định: Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số lấy tích phân, cận số mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu các biến số tích phân. Điều này có nghĩa là:

 

Với tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ thì ta cũng có được $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( z \right)} dz = \int\limits_a^b {f\left( v \right)} dv$, v.v...

ọi d là đt qua M(2;0) và có hệ số góc k.Tìm k để d cắt $(C):y=\left | x \right |^{3}-3\left | x \right |-2$ tại 4 điểm p/b?

Mình gợi ý thế này nhé.

Theo giả thuyết thì phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $d:\,\,y = k\left( {x - 2} \right) = kx - 2k$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ với $\left( C \right):y=\left | x \right |^{3}-3\left | x \right |-2$ là \[kx - 2k = {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right| - 2 \Leftrightarrow {\left| x \right|^3} - 3\left| x \right| - kx + 2k - 2 = 0\]

Xét trường hợp $x \ge 0$. Phương trình trở thành:

\[{x^3} - \left( {3 + k} \right)x + 2k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 1 - k} \right) = 0\]

Nghiệm $x=2$ chính là hoành độ của điểm $M$.

Tương tự, xét trường hợp $x < 0$. \[ - {x^3} + \left( {3 + k} \right)x + 2k - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1 + k} \right) = 0\]

Lúc đó để $d$ và $\left( C \right)$ cắt nhau tại 4 điểm phân biệt thì phương trình ở trường hợp đầu có 2 nghiệm phân biệt không âm, phương trình thứ hai có nghiệm ....

Cho dãy số $\left \{ u_n \right \}$ với $u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}.(\frac {2}{2}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n})$

Chứng minh rằng $\left \{ u_n \right \}$ có giới hạn và tìm $\lim_{x\rightarrow +\infty}u_n$

__________

Bài này dùng Stolz  được không m.n?

 

Đề bài phải là $\left \{ u_n \right \}$ với $u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}.(\frac {2}{1}+\frac{2^2}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n})$ và $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$

 

Lời giải:

Các bạn cho mình hỏi thể lệ gửi bài và đọc bài trong tạp chí AMM và Crux,cám ơn

Bạn vào Trang chủ của hai tạp chí trên để tìm hiểu nhé. Chịu khó đọc chút tiếng Anh!

 

Tạp chí AMM

 

Tạp chí CRUX

 

Bạn có thể tham khảo thêm tại đây.

 

http://diendantoanho...5-tạp-chi-crux/

 

http://diendantoanho...76-tạp-chi-amm/

 

Chúc bạn thành công!

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 16(x^{2}+\sqrt[3]{x^{4}}-\sqrt[3]{x^{2}}+1)=xy & & \\ 16(\sqrt[3]{x^{8}}+\sqrt[3]{x^{2}}+x^{2}+1)+15.\sqrt[3]{x^{4}}=2y.\sqrt[3]{x^{4}} & & \end{matrix}\right.$

 

http://diendantoanho...n-học/?p=273620

Em vẫn chưa tìm được lời giải trong cái link đó ạ ! 

Lời giải ở đó khá chi tiết vậy mà. Bạn cố gắng xem lại lần nữa nhé!

Tìm các số nguyên dương m, n sao cho các số $m^2+8n$ và $n^2+8m$ đều là số chính phương 

 

 

Em tham khảo thêm ở topi này nhé: http://diendantoanho...phương-thi-hsg/

Em hiện tại đang học lớp 11 và vừa rồi có 1 câu giải phương trình căn thức thi thử đại học mong mọi người giúp đỡ

$\sqrt{3x^2-7x+3} - \sqrt{x^2-2} = \sqrt{3x^2-5x-1} - \sqrt{x^2-3x+4}$

Xin cảm ơn!

Mở màn với bài toán này.

Bạn có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp để giải bài này.

Điều kiện: ...

Phương trình đã cho tương đương với:
$$\sqrt{3x^{2}-7x+3}-\sqrt{3x^{2}-5x-1}=\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$$
$$\Leftrightarrow \frac{-2x+4}{\sqrt{3x^{2}-7x+3}+\sqrt{3x^{2}-5x-1}}=\frac{3x-6}{\sqrt{x^{2}-2}+\sqrt{x^{2}-3x+4}}$$

Giải cách này có thể gọn hơn xí.

 

Nhận thấy $\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)$ là một nghiệm.

 

Xét $\left( {x;y} \right) \ne \left( {0;0} \right)$. Chia phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được:

\[\frac{{2y\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{x\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}} = \frac{{3x}}{{10y}} \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + 1}} = \frac{3}{{20}}{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{3}{{20}}{\left( {\frac{x}{y}} \right)^4} - \frac{{17}}{{20}}{\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} + 1 = 0\]

Đặt $t = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^2} > 0$, phương trình trở thành: 

 

 

 

Giải phương trình:

$\sqrt {5x^2  + 14x + 9}  - \sqrt {x^2  - x - 20}  = 5\sqrt {x + 1} $
 

 

Ví dụ 21: Giải phương trình

$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$

Lời giải:

ĐK : $ x \geq 5$

Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:

$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$

$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$

Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:

$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$

* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$

* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$

Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

 

 

Trích Phương pháp đặt ẩn số phụ trong giải phương trình vô tỉ

Tìm giới hạn :

1,$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{cotx}$

2,$\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{In x})$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1:

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {(1 + x)^{cotx}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}.x\cot x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x\cot x}} = {e^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}}}} = e\]

Vì $\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\tan x}} = 1 \end{array} \right.$

 

Bài 2: Em dùng L'Hospital thử coi.