n^3+2009n=n^3+2010n-n=(n^3-n)+2010n
ta có:2010n chia het cho 3 voi moi n
n^3-n=n(n-1)(n+1) chia het cho 3 voi moi n
=> n^3+2009n chia het cho 3 voi moi n
IloveMaths nội dung
Có 162 mục bởi IloveMaths (Tìm giới hạn từ 26-05-2020)
#357584 $(\frac{a}{b+c})^{3}+(\frac...
Đã gửi bởi
on 29-09-2012 - 20:35
trong
Bất đẳng thức và cực trị
ta có:
a^3/(b+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))(cauchy)
b^3/(a+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))
c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4(c/(a+b))
=>a^3/(b+c)^3+1/8+1/8+b^3/(a+c)^3+1/8+1/8+c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4[a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)]
ap dung bat dang thuc Nesbit
a/(b+c)+c/(a+b)+b/(a+c)>=3/2
=>đ.p.c.m
dau bang xay ra khi a=b=c
to moi dang xin dien dan , to khong biet go cong thuc toan.ai noi cho to biet voi .thanksyou
a^3/(b+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))(cauchy)
b^3/(a+c)^3+1/8+1/8>=3/4(a/(b+c))
c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4(c/(a+b))
=>a^3/(b+c)^3+1/8+1/8+b^3/(a+c)^3+1/8+1/8+c^3/(a+b)^3+1/8+1/8>=3/4[a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)]
ap dung bat dang thuc Nesbit
a/(b+c)+c/(a+b)+b/(a+c)>=3/2
=>đ.p.c.m
dau bang xay ra khi a=b=c
to moi dang xin dien dan , to khong biet go cong thuc toan.ai noi cho to biet voi .thanksyou
#375377 Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn. CMR: $\sqrt{a^2b...
Đã gửi bởi
on 05-12-2012 - 20:02
trong
Hình học phẳng
Gọi S,R , a,b,c lần lượt là diện tích,bán kính đường tròn ngoại tiếp ,BC,AC,AB của tam giác ABC
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a^2b^2-4S^2}+\sqrt{a^2c^2-4S^2}=a^2 \Leftrightarrow \frac{a^2b^2-4S^2-a^2c^2+4S^2}{\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}}=a^2\Leftrightarrow b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}\Leftrightarrow$$b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}}-\sqrt{a^2c^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}} \Leftrightarrow b^2-c^2=ab\sqrt{1-\frac{c^2}{4R^2}}-ac\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}=\frac{ab\sqrt{4R^2-c^2}-ac\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}=\frac{ab\sqrt{\frac{c^2}{sin^2C}-c^2}-ac\sqrt{\frac{b^2}{sin^2B}-b^2}}{2R} =\frac{abc\left [ \sqrt{\frac{1}{sin^2C}-1}-\sqrt{\frac{1}{sin^2B}-1} \right ]}{2R} =\frac{abc(cotC.cotB)}{2R}=\frac{4RS.(cotC-cotB)}{2R}=2S.(cotC-cotB)$
dễ đang chứng minh được :
$cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S};cotB=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \Rightarrow 2S(cotC.cotB)=2S.(\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}-\frac{a^2+c^2-b^2}{4S})=b^2-c^2$
"Nếu là con chim chiếc là
Thì con chim phải hót
Chiếc là phải bay
Lẽ nào vay mà ko trả
Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình".
Hãy like nhé
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a^2b^2-4S^2}+\sqrt{a^2c^2-4S^2}=a^2 \Leftrightarrow \frac{a^2b^2-4S^2-a^2c^2+4S^2}{\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}}=a^2\Leftrightarrow b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-4S^2}-\sqrt{a^2c^2-4S^2}\Leftrightarrow$$b^2-c^2=\sqrt{a^2b^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}}-\sqrt{a^2c^2-\frac{a^2b^2c^2}{4R^2}} \Leftrightarrow b^2-c^2=ab\sqrt{1-\frac{c^2}{4R^2}}-ac\sqrt{1-\frac{b^2}{4R^2}}=\frac{ab\sqrt{4R^2-c^2}-ac\sqrt{4R^2-b^2}}{2R}=\frac{ab\sqrt{\frac{c^2}{sin^2C}-c^2}-ac\sqrt{\frac{b^2}{sin^2B}-b^2}}{2R} =\frac{abc\left [ \sqrt{\frac{1}{sin^2C}-1}-\sqrt{\frac{1}{sin^2B}-1} \right ]}{2R} =\frac{abc(cotC.cotB)}{2R}=\frac{4RS.(cotC-cotB)}{2R}=2S.(cotC-cotB)$
dễ đang chứng minh được :
$cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S};cotB=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S} \Rightarrow 2S(cotC.cotB)=2S.(\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}-\frac{a^2+c^2-b^2}{4S})=b^2-c^2$
"Nếu là con chim chiếc là
Thì con chim phải hót
Chiếc là phải bay
Lẽ nào vay mà ko trả
Sống là cho đâu chỉ nhận riêng mình".
Hãy like nhé
#375489 : $\sum \frac{a^{2}-bc}{b+2c+d}...
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 07:25
trong
Bất đẳng thức và cực trị
ồn ào quá,mọi người làm hay cãi vã đấy
#375490 $\sum_{cyc}\frac{bc}{a}.\su...
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 07:35
trong
Bất đẳng thức và cực trị
cho tam giác ABC nhọn,các đường trung tuyến $m_{a};m_{b};m_{c}$ ứng với các cạnh a,b,c.chứng minh:
$\sum_{cyc}\frac{bc}{a}.\sum_{cyc}\frac{m_{a}}{m_{b}m_{c}}\geqslant 6\sqrt{3}$
$\sum_{cyc}\frac{bc}{a}.\sum_{cyc}\frac{m_{a}}{m_{b}m_{c}}\geqslant 6\sqrt{3}$
#375686 Tính tổng T
Đã gửi bởi
on 06-12-2012 - 22:04
trong
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình
do parabol cắt trục hoành tại hai điểm nên:$ax^2+bx+c=0$
$\Rightarrow T=a.S_{2012}+b.S_{2011}+c.S_{2010}=a(x_{1}^{2012}+x_{2}^{2012})+b(x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011})+c(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})=x_{1}^{2010}(a.x_{1}^{2}+b.x_{1}+c)+x_{2}^{2010}(a.x_{2}^{2}+b.x_{2}+c)=0$
$\Rightarrow T=a.S_{2012}+b.S_{2011}+c.S_{2010}=a(x_{1}^{2012}+x_{2}^{2012})+b(x_{1}^{2011}+x_{2}^{2011})+c(x_{1}^{2010}+x_{2}^{2010})=x_{1}^{2010}(a.x_{1}^{2}+b.x_{1}+c)+x_{2}^{2010}(a.x_{2}^{2}+b.x_{2}+c)=0$
#375760 Giải phương trình $\sqrt{x+\frac{3}{x...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 07:47
trong
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
đặt $\sqrt{x^2+}3=a(a>0));\sqrt{x}=b(b>0)$
$\Rightarrow \sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}\Leftrightarrow \frac{a} {b}=\frac{a^2+4}{2b^2+2}\Leftrightarrow 2a.b^{2}+2a=4b+b.a^{2}\Leftrightarrow ab(2b-a)=2(2b-a)$
xet a=2b;ab=2 là xong
$\Rightarrow \sqrt{x+\frac{3}{x}}=\frac{x^2+7}{2(x+1)}\Leftrightarrow \frac{a} {b}=\frac{a^2+4}{2b^2+2}\Leftrightarrow 2a.b^{2}+2a=4b+b.a^{2}\Leftrightarrow ab(2b-a)=2(2b-a)$
xet a=2b;ab=2 là xong
#375763 $\sum \frac{1}{a+3b}\geq \sum...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 07:58
trong
Bất đẳng thức và cực trị
áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geqslant \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$
lam tương tự sau đó công lại
$$\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{a+b+2c}\geqslant \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}$
lam tương tự sau đó công lại
#375783 Bất đẳng thức
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 12:14
trong
Bất đẳng thức và cực trị
áp dụng bất đẳng thức swarch:
$\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy(x+y)}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{(x+y)^3}=4+2.\sqrt{3}$ (do x+y=1)
$\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{3}{3xy}\geqslant \frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{x^3+y^3+3xy(x+y)}=\frac{(1+\sqrt{3})^{2}}{(x+y)^3}=4+2.\sqrt{3}$ (do x+y=1)
#375816 Giải phương trình nghiệm nguyên : $x^2 - 6xy + 13y^{2} = 100...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 18:48
trong
Số học
$x^2-6xy+13y^2=100\Leftrightarrow (x-3y)^2+4y^2=100\Rightarrow 4y^2\leqslant 100\Rightarrow y^2\leq 25\Rightarrow -5\leqslant y\leqslant 5$
lap bang tim x
lap bang tim x
#375820 $\sum \frac{a+b}{a^2+bc+c^2} \geq 27....
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 19:04
trong
Bất đẳng thức và cực trị
với a,b,c là các số thực dương.Chứng minh:
$\frac{a+b}{a^2+bc+c^2}+\frac{b+c}{b^2+ca+a^2}+\frac{c+a}{c^2+ab+b^2}\geqslant 27.\frac{ab^2+bc^2+ca^2+3abc}{(a+b+c)^4}$
$\frac{a+b}{a^2+bc+c^2}+\frac{b+c}{b^2+ca+a^2}+\frac{c+a}{c^2+ab+b^2}\geqslant 27.\frac{ab^2+bc^2+ca^2+3abc}{(a+b+c)^4}$
#375832 Tìm GTNN của biểu thức $P = \frac{1}{a^{2}...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 19:54
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bai 2:
đặt:
$\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b \Rightarrow 5ab=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$
bai 1:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+4ab+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2+\frac{1}{4ab}\geqslant 4+2+\frac{1}{4.\frac{1}{4}}=4+2+1=7$
đặt:
$\sqrt{x+1}=a;\sqrt{x^2-x+1}=b \Rightarrow 5ab=2(a^2+b^2)\Leftrightarrow (2a-b)(a-2b)=0$
bai 1:
$$\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+4ab+\frac{1}{4ab}+\frac{1}{4ab}\geqslant \frac{4}{(a+b)^2}+2+\frac{1}{4ab}\geqslant 4+2+\frac{1}{4.\frac{1}{4}}=4+2+1=7$
#375841 Tìm min $P = 3a + 2b + c$
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 20:18
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
$2abc=3a^2+4b^2+5c^2=a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2+c^2+c^2\geqslant 12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^10}\Rightarrow a^3.b^2.c\geqslant 46656\Rightarrow 3a+2b+c=a+a+a+b+b+c\geqslant 6.\sqrt[6]{a^3.b^2.c^2}=6.6=36$
$2abc=3a^2+4b^2+5c^2=a^2+a^2+a^2+b^2+b^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2+c^2+c^2\geqslant 12.\sqrt[12]{a^6.b^8.c^10}\Rightarrow a^3.b^2.c\geqslant 46656\Rightarrow 3a+2b+c=a+a+a+b+b+c\geqslant 6.\sqrt[6]{a^3.b^2.c^2}=6.6=36$
#375912 cho tam giac ABC thỏa mãn $\frac{1}{a+b}+\...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 22:52
trong
Hình học phẳng
cho tam giac ABC thỏa mãn
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$
tim so do goc B
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}=\frac{3}{a+b+c}$
tim so do goc B
#375926 $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c...
Đã gửi bởi
on 07-12-2012 - 23:10
trong
Bất đẳng thức và cực trị
2.ap dung AM-GM
$A=\frac{(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3}{8}\geqslant \frac{3}{8}.(x+1)(y+1)(z+1)\geqslant \frac{3}{8}.2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}=3$
$A=\frac{(x+1)^3+(y+1)^3+(z+1)^3}{8}\geqslant \frac{3}{8}.(x+1)(y+1)(z+1)\geqslant \frac{3}{8}.2\sqrt{x}.2\sqrt{y}.2\sqrt{z}=3$
#376360 $\sum \frac{(2b^2-1)(2c^2-1)a}{1-b^2-c^2}...
Đã gửi bởi
on 09-12-2012 - 19:36
trong
Bất đẳng thức và cực trị
với 0<a,b,c<1. chứng minh:
$\frac{(2a^2-1)(2c^2-1)b}{1-a^2-c^2}+\frac{(2b^2-1)(2a^2-1)c}{1-a^2-b^2}+\frac{(2b^2-1)(2c^2-1)a}{1-b^2-c^2}\leqslant \frac{3}{4}$
$\frac{(2a^2-1)(2c^2-1)b}{1-a^2-c^2}+\frac{(2b^2-1)(2a^2-1)c}{1-a^2-b^2}+\frac{(2b^2-1)(2c^2-1)a}{1-b^2-c^2}\leqslant \frac{3}{4}$
#377326 $\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca...
Đã gửi bởi
on 13-12-2012 - 18:31
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bat dang thuc chung minh tuong duong voi
$a^2+b^2+c^2\geqslant 2(bc+ac-ab) \Leftrightarrow (a+b)^2+c^2\geqslant 2c(a+b)$
dung theo AM-GM
$a^2+b^2+c^2\geqslant 2(bc+ac-ab) \Leftrightarrow (a+b)^2+c^2\geqslant 2c(a+b)$
dung theo AM-GM
#377551 $$\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+...
Đã gửi bởi
on 14-12-2012 - 18:28
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
đặt a+b=x;b+c=y,c+a=z
$\Rightarrow \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y+z-x}{x+y-z}}+\sqrt{\frac{x+y-z}{x+z-y}}+\sqrt{\frac{x+z-y}{y+z-x}}\geqslant 3$
(dung theo AM-GM)
$\Rightarrow \sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{a+c-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y+z-x}{x+y-z}}+\sqrt{\frac{x+y-z}{x+z-y}}+\sqrt{\frac{x+z-y}{y+z-x}}\geqslant 3$
(dung theo AM-GM)
#377559 $a^{3}b+b^3c+c^3a\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
Đã gửi bởi
on 14-12-2012 - 18:49
trong
Bất đẳng thức - Cực trị
áp dụng định lí muirhead
ta co:
$(3,1)\succ (2,2)$
ta co:
$(3,1)\succ (2,2)$
#378769 CMR $xy+yz+xz\geq \frac{-1}{2}$
Đã gửi bởi
on 19-12-2012 - 11:03
trong
Bất đẳng thức và cực trị
$xy+yz+zx\geqslant \frac{-1}{2}\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)+1\geqslant 0\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2\geqslant 0\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geqslant 0$
#378774 CMR$abc(3+a^3)(3+b^3)(3+c^3)\geq 64$
Đã gửi bởi
on 19-12-2012 - 11:20
trong
Bất đẳng thức và cực trị
bài 2:
$P=\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{b+a}\Rightarrow P+12= \frac{3a}{b+c}+3+\frac{4b}{a+c}+4+\frac{5c}{b+a}+5= (a+b+c)(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{5}{b+a})\geqslant(a+b+c).\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2}{2(a+b+c)}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2}{2}$
$P=\frac{3a}{b+c}+\frac{4b}{a+c}+\frac{5c}{b+a}\Rightarrow P+12= \frac{3a}{b+c}+3+\frac{4b}{a+c}+4+\frac{5c}{b+a}+5= (a+b+c)(\frac{3}{b+c}+\frac{4}{a+c}+\frac{5}{b+a})\geqslant(a+b+c).\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2}{2(a+b+c)}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{5})^2}{2}$
#378878 THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI ĐỀ SỐ 3 - THTT 12/426
Đã gửi bởi
on 19-12-2012 - 18:30
trong
Thi TS ĐH
cho minh hoi
đề ra kì nàyTHTT số 426
đề ra kì nàyTHTT số 426
#380086 Tính $M=4\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )-...
Đã gửi bởi
on 24-12-2012 - 17:00
trong
Đại số
$4(a-b)(b-c)-(c-a)^2=4(a-b)(b-c)-(a-b+b-c)^2=4(a-b)(b-c)-(a-b)^2-(b-c)^2-2(a-b)(b-c)=-(a-b-b+c)^2=-(a-2b+c)^2$
theo tinh chat day ti so bang nhau:
$\frac{a}{2011}=\frac{2b}{4024}=\frac{a-2b}{-2013}=\frac{c}{2013}\Rightarrow a-2b+c=0\Rightarrow M=0$
theo tinh chat day ti so bang nhau:
$\frac{a}{2011}=\frac{2b}{4024}=\frac{a-2b}{-2013}=\frac{c}{2013}\Rightarrow a-2b+c=0\Rightarrow M=0$
#381651 so hoc kho
Đã gửi bởi
on 29-12-2012 - 19:20
trong
Các dạng toán THPT khác
chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn:
$2^n+2\vdots n$
$2^n+2\vdots n$
#381744 CMR tam giác ABC đều
Đã gửi bởi
on 29-12-2012 - 21:36
trong
Công thức lượng giác, hàm số lượng giác
to nghi lam the nay:
Su dung bat dang thuc luong giac quen thuoc:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leqslant \frac{9}{4}$
$3(cos^2A+cos^2A+cos^2A)\geqslant \frac{9}{4}$
dau bang xay ra khi a=b=c khi do tam giac ABC deu
Su dung bat dang thuc luong giac quen thuoc:
$sin^2A+sin^2B+sin^2C\leqslant \frac{9}{4}$
$3(cos^2A+cos^2A+cos^2A)\geqslant \frac{9}{4}$
dau bang xay ra khi a=b=c khi do tam giac ABC deu
