Bài 4: Ta có: $ab+cd=ab.1+cd.1=ab.(c^{2}+d^{2})+cd.(a^{2}+b^{2})$
$\Rightarrow ab+cd=abc^{2}+abd^{2}+cda^{2}+cdb^{2}$$
\Rightarrow ab+cd=ad(bd+ac)+bc(ac+bd)$
$\Rightarrow ab+cd=(ac+bd)(bc+ad)$
mà $ac+bd=0$
Vậy $ab+cd=0$

Giả sử $a,b$ là các số nguyên dương sao cho $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}$$\in \mathbb{Z}$ là 1 số nguyên.

 

Gọi $d$ là ước số của $a$ và $b$. Chứng minh rằng: $d\leq \sqrt{a+b}$

Vì $\frac{a+1}{b}+\frac{b+1}{a}=\frac{a^{2}+b^{2}+a+b}{ab}$ là số nguyên 

$\Rightarrow (a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots ab$

Mà ta có $d=(a,b)$ nên $ab\vdots d^{2}$

Suy ra $(a^{2}+b^{2}+a+b)\vdots d^{2}$ và $(a^{2}+b^{2})\vdots d^{2}$

Vậy nên $(a+b)\vdots d^{2}$ $\Rightarrow a+b\geq d^{2}$ suy ra đpcm

$\frac{x^{2}-13x+22}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}:\sqrt{x-2}=\frac{1}{2}$ (1)

ĐK: $x> 2$

$(1)\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2x+(x-5)\sqrt{x-2}-4}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x-2}(x-11)}{2(\sqrt{x-2})^{2}+(x-5)\sqrt{x-2}}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{x-11}{2\sqrt{x-2}+x-5}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-17=2\sqrt{x-2}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 17\\ (x-17)^{2}=4(x-2) \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=27$

Cho a,b,c >0 chứng minh:

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng BĐT: $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+xz$ ta có

$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geqslant \frac{a^{4}b^{4}+b^{4}c^{4}+c^{4}a^{4}}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{a^{3}b^{3}c^{3}}\geq \frac{a^{2}b^{2}c^{2}(ab+bc+ca)}{a^{3}b^{3}c^{3}}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Cho 3 số $a, b, c$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 & \\ a^{3}+b^{3}+c^{3}=1 & \end{matrix}\right.$

Tính tổng $M=a+b^{2}+c^{3}$

Trừ từng vế hai phương trình ta được 

$a^{2}(1-a)+b^{2}(1-b)+c^{2}(1-c)=0$ (1)

Ta chứng minh 1-a, 1-b , 1-c đều không âm.

Giả sử 1-a <0 thì a>1 $\Rightarrow a^{2}>1 \Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}>1$ (trái với gt)

Do đó 1-a,1-b,1-c không âm nên từ (1) dễ dàng suy ra một trong ba số có 2 số bằng 0 và một số bằng 1

từ đó tính được giá trị biểu thức

Giải phương trình

$\sqrt{\frac{7}4{\sqrt{x}-1+x^{2}}}=(1-\sqrt{x})^{2}$

Giải phương trình

a. $\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5}= x^{2}-12x+38$

b.$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=3x^{2}-12x+4$

a) Ta có 

$VT^{2}=(\sqrt{7-x}+\sqrt{x-5})^{2}\leq 4\Rightarrow VT\leq 2$

 $VP=x^{2}-12x+38=(x-6)^{2}+2\geq 2$

Mà VT=VP.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=6$

Thử lại x=6 thỏa.

Vậy nghiệm của pt đã cho là x=6.

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{a}{3a+b+c}+\frac{b}{3b+c+a}+\frac{c}{3c+a+b}\leq \frac{3}{5}$

Cách khác

Đặt $3a+b+c=x, 3b+c+a=y, 3c+a+b=z ,(x,y,z>0)$

Ta có $VT=\frac{4x-y-z}{10x}+\frac{4y-x-z}{10y}+\frac{4z-y-x}{10z}=\frac{6}{5}-\frac{1}{10}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x})\leq \frac{6}{5}-\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$

1. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng

$\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(c+a)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$

2.Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có

$\frac{a^{n}b^{m}}{c^{n+m}}+\frac{b^{n}c^{m}}{a^{n+m}}+\frac{c^{n}a^{m}}{b^{n+m}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

 

Giả sử $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{n}>0$ và $\sum_{i=1}^{k}a_{i}\leq \sum_{i=1}^{k}b_{i}$ với $k=1,2,...,n$. Chứng minh rằng khi đó ta có:

$\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\leq \sum_{i=1}^{n}b_{i}^{2}$

 

giải phương trình

$(x+1)\sqrt{x-3}+\sqrt[3]{x+4}-3x+5=0 (1) $

ĐK: $x\geq 3$

Ta có

$(1)\Leftrightarrow (\sqrt[3]{x+4}-2)+(\sqrt{x-3}-1)+(x\sqrt{x-3}-(3x-8))=0$

$\Leftrightarrow \frac{x-4}{(\sqrt[3]{x+4})^{2}+2\sqrt[3]{x+4}+4}+\frac{x-4}{\sqrt{x-3}+1}+\frac{(x-4)^{3}}{x\sqrt{x-3}+(3x-8)}=0$

Từ đây dễ dàng suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Giải phương trình

$2(5x-3)\sqrt{x+1}+5(x+1)\sqrt{3-x}=3(5x+1)$

Cho $0<(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}\leq 2$

Tìm GTLN của

$4^{x}+4^{y}+4^{z}+ ln(x^{4}+y^{4}+z^{4})-\frac{3}{4}(x+y+z)^{4}$

Ta có $a(1-ax)=4b-2ax (1)$
$\Leftrightarrow 2ax -a^{2}x=4b-a$
$\Leftrightarrow (2a-a^{2})x=4b-a$
$\Leftrightarrow a(2-a)x=4b-a$
* Với $2a-a^{2}\neq 0$ phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{4b-a}{2a-a^{2}}$
*Với $a=0$ ta có $(1)\Leftrightarrow 0x=4b$
TH1: Với $b=0$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq 0$ phương trình vô nghiệm
*Với $2-a=0\Leftrightarrow a=2$ ta có
$(1)\Leftrightarrow 0x=4b-2$
$\Leftrightarrow 0x=2(2b-1)$
TH1: Với $b=\frac{1}{2}$ phương trình đúng với mọi $x$
TH2: Với $b\neq \frac{1}{2}$ phương trình vô nghiệm

Đề là dấu trừ nhé bạn?? bạn giải giùm

mình nhìn nhầm đề 

Ta đặt : $\sqrt{x+4}=a$, $\sqrt{4-x}=b$

$\Rightarrow \sqrt{16-x^2}=ab$

Ta tìm max của biểu thức  $N = a+b+ab$

Ta có $(a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)= 2.8=16 => a+b\leq 4$

và $a^2+b^2 \geq 2ab =>ab \leq \frac{(a^2+b^2)}{2}=\frac{8}{2}=4$

$=> N\leq 4 +4 =8$

Dấu "=" xảy ra khi $x=0$

ĐKXĐ :$-1\leq x\leq 3$ (1)

xét hiệu : $(-x^{2}+4x+12)-(-x^{2}+2x+3)=2x+9$

do (1) nên $2x+9 > 0$ do đó $P> 0$

Xét $P^{2}=(x+2)(6-x)+(x+1)(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}$

              $=(x+1)(6-x)+(6-x)+(x+2)(3-x)-(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}$

              $=(x+1)(6-x)+(x+2)(3-x)-2\sqrt{(x+2)(6-x)(x+2)(6-x)}+3$

              $=(\sqrt{(x+1)(6-x)}-\sqrt{(x+2)(3-x)})^{2}+3$

Do đó $P^{2}\geq 3 => P\geq \sqrt{3}$ (vì $P\geq 0$)

Vậy min $P=\sqrt{3}\Leftrightarrow x=0$

Bài 1: Cho $x^{2}+y^{2}\leq x+y$. Chứng minh rằng $x+2y\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

 

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

 

Bài 3: Cho $x,y,z >0$, $x+y+z=1$. Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$

Bài 3: ta có 

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\geq \frac{(1+2+3)^{2}}{x+y+z}=36$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( \frac{1}{6};\frac{1}{3};\frac{1}{2} \right )$

Bài 2: Cho $x, y$ là hai số tự nhiên khác $0$ thỏa mãn $2x+3y = 53$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{xy+4}$

ta có $53=2x+3y\geq 2\sqrt{2x.3y}\Rightarrow xy\leq \frac{2809}{24}$

$\Rightarrow P\leq \frac{\sqrt{17430}}{12}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{53}{4},y=\frac{53}{6}$

p/s: @caovannct hình như bài bạn giải là bài 1 

1. Cho $\Delta ABC$, $M$ là điểm di động trên cạnh $BC$. $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB$, $AC$. Xác định vị trí của $M$ để $DE$ có độ dài ngắn nhất.

2. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn và có các đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$. Từ $M$ vẽ các đường vuông góc $MA'$,$MB'$,$MC'$,$MD'$ lần lượt đến các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.Chứng minh rằng $A'B'$ +$C'D'$=$A'D'$ +$B'C'$

Lưu ý: Trả lời cách làm chứ không phải đáp án
1) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. có $AB=5cm$ và $BC=10cm$. Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB;BC;CA$. Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$ là ... $(cm)$ (Kết quả lẻ)

Dễ dàng chứng minh được $\Delta MNP$ vuông tại $N$ và $MP=\frac{BC}{2}=5$ (cm)

từ đó tính được chu vi đường tròn ngoại tiếp $\Delta MNP$ : $C= 2R\Pi =5\Pi$ (cm)

2) Cho pt: $\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{x^2}{(x+1)^2}=\frac{10}{9}$

Tập hợp nghiệm của pt là : ...

ĐK:$x\neq 1,-1$

Ta có phương trình $\Leftrightarrow 8x^{4}+38x^{2}-10=0$

đưa về phương trình trùng phương và giải ta được $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$ (TMĐK)

Đề thi TS lớp 10 THPT chuyên TB 2010-2011 (V2)

Bài 2:
Cho hệ: $\left\{\begin{matrix}ax+by=c  &  & \\ bx+cy=a  &  & \\ cx+ay=b \end{matrix}\right.$ với $a;b;c$ là tham số.

Cmr: Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình trên có nghiệm là: $a^3+b^3+c^3=3abc$

Giả sử $\left ( x_{o} ,y_{o}\right )$ là nghiệm của hệ phương trình đã cho

ta có hệ 

$\left\{\begin{matrix} ax_{o}+by_{o}=c (1)\\ bx_{o}+cy_{o}=a(2)\\ cx_{o}+ay_{o}=b (3) \end{matrix}\right.$

+)Nhân hai vế của $(1),(2),(3)$ lần lượt với $c^{2},a^{2},b^{2}$ ta dễ dàng suy ra được

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)x_{o}+(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)y_{o}$

+)Nhân hai vế của $(1),(2),(3)$ lần lượt với $ab,bc,ca$ ta suy ra được $3abc=(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)x_{o}+(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)y_{o}$

Từ đó suy ra được $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 

2b

 ta có $2x^{2}+3x+2>0 \Rightarrow y^{3}>x^{3}$

mà $4x^{2}+9x+6 >0 \Rightarrow y^{3}=x^{3}+2x^{2}+3x+2<(x+2)^{3}$

Nên ta có $x^{3}<y^{3}<(x+2)^{3}\Rightarrow y^{3}=(x+1)^{3}\Rightarrow x^{3}+2x^{2}+3x+2=(x+1)^{3}$

Tới đây dễ rồi